【高校数学C】4-1-5 2次曲線と直線｜問題集

\(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{(-x+k)^2}{6}=1\)
\(2x^2+(x^2-2kx+k^2)=6\)
\(3x^2-2kx+k^2-6=0\)
判別式\(D\)は
\(D=(-2k)^2-4・3・(k^2-6)=-8k^2+72\)
よって、
\(-3< k<3\)のとき、\(2\)個
\(k=\pm3\)のとき、\(1\)個
\(k<-3,3< k\)のとき、\(0\)個

\(x^2-2(x+k)^2=4\)
\(x^2-2(x^2+2kx+k^2)=4\)
\(x^2+4kx+2k^2+4=0\)
判別式\(D\)は
\(D=(4k)^2-4・1・(2k^2+4)=8k^2-16\)
よって、
\(k<-\sqrt{2},\sqrt{2}< k\)のとき、\(2\)個
\(k=\pm\sqrt{2}\)のとき、\(1\)個
\(-\sqrt{2}< k<\sqrt{2}\)のとき、\(0\)個

\(x^2+4(x+2)^2=4\)
\(5x^2+16x+12=0\)
解と係数の関係より
\(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{16}{5}\)
\(M\)の\(x\)座標は
\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{8}{5}\)
\(M\)の\(y\)座標は
\(\displaystyle -\frac{8}{5}+2=\frac{2}{5}\)
よって、
\(\displaystyle M\left(-\frac{8}{5},\frac{2}{5}\right)\)

\(2y=2(x+1)\)
\(y=x+1\)

\(\displaystyle \frac{3x}{12}+\frac{y}{4}=1\)
\(x+y=4\)
\(y=-x+4\)

求める接線の方程式を\(y=m(x-4)\)とおく。
\(m^2(x-4)^2=-4x\)
\(m^2x^2+(4-8m^2)x+16m^2=0\)
判別式\(D\)は
\(D=(4-8m^2)^2-4・m^2・16m^2=16-64m^2\)
\(D=0\)のとき、\(\displaystyle m=\pm\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}(x-4),y=-\frac{1}{2}(x-4)\)

求める接線の方程式を\(y=mx-1\)とおく。
\(x^2-(mx-1)^2=1\)
\((1-m^2)x^2+2mx-2=0\)
判別式\(D\)は
\(D=(2m)^2-4・(1-m^2)・(-2)=8-4m^2\)
\(D=0\)のとき、\(\displaystyle m=\pm\sqrt{2}\)
よって、
\(\displaystyle y=\sqrt{2}x-1,y=-\sqrt{2}x-1\)