【高校数学C】2-1-3 空間ベクトルの内積｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「空間ベクトルの内積」について整理します。空間ベクトルの内積の定義や計算方法、なす角との関係、直交条件などをわかりやすく解説します。図や数式を通して、空間内でのベクトルの関係を正確に理解し、立体図形の問題にも応用できる力を身につけましょう。
空間ベクトルの内積の定義と意味
【内積の定義】
\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とするとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
【内積の成分】
\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
【ベクトルのなす角】
\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のなす角を\(\theta\)とすると、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\)
【ベクトルの垂直条件】
\(\vec{0}\)でない\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)とすると、
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}・\vec{b}=0 \)
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0 \)
【例題】次の問いに答えなさい。