2-1-3 空間ベクトルの内積(要点)

【内積の定義】

\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とするとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)

【内積の成分】

\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

【ベクトルのなす角】

\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のなす角を\(\theta\)とすると、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\)

【ベクトルの垂直条件】

\(\vec{0}\)でない\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)とすると、
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}・\vec{b}=0 \)
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0 \)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(1\)辺の長さが\(1\)の正四面体\(OABC\)において、内積\(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{AB}\)を求めなさい。

\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{AB}\)のなす角は\(120°\)なので、
\(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{AB}\)
\(=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AB}|\cos120°\)
\(\displaystyle =1・1・-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\)

(2)\(\vec{a}=(7,1,2),\vec{b}=(4,1,-1)\)のとき、内積\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。また、\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。

\(\vec{a}・\vec{b}=7・4+1・1+2・(-1)=27\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{27}{\sqrt{7^2+1^2+2^2}\sqrt{4^2+1^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=30°\)

(3)\(\vec{a}=(7,1,2),\vec{b}=(4+x,1,-1+x)\)が垂直のとき、\(x\)を求めなさい。

\(\vec{a}・\vec{b}=0\)より、 \(7(4+x)+1・1+2(-1+x)=0\)
\(9x+27=0\)
\(x=-3\)