【高校数学C】4-1-2 楕円｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「楕円」について整理します。長軸・短軸・中心・焦点などの基本概念をわかりやすく解説し、問題演習に活用できる基礎力を養います。
楕円の基本概念
【楕円】
平面上の\(2\)点\(F,F'\)からの距離の和が等しい点の軌跡を楕円といい、\(F,F'\)を焦点という。
\(2\)つの焦点\(F,F'\)を結ぶ線分の中点\(O\)を楕円の中心という。
\(4\)点\(A,A',B,B'\)を楕円の頂点といい、\(2\)つの線分\(AA',BB'\)の長い線分を長軸、短い線分を短軸という。
【楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の方程式】
●\(a>b\)のとき
・頂点は\((a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)\)
・焦点は\((\sqrt{a^2-b^2},0),(-\sqrt{a^2-b^2},0)\)
・中心は原点、長軸の長さは\(2a\)、短軸の長さは\(2b\)
・\(x\)軸、\(y\)軸、原点に関して対称
・楕円上の点から\(2\)つの焦点までの距離の和は\(2a\)
●\(b>a\)のとき
・頂点は\((a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)\)
・焦点は\((0,\sqrt{b^2-a^2}),(0,-\sqrt{b^2-a^2})\)
・中心は原点、長軸の長さは\(2b\)、短軸の長さは\(2a\)
・\(x\)軸、\(y\)軸、原点に関して対称
・楕円上の点から\(2\)つの焦点までの距離の和は\(2b\)
【例題】次の楕円の方程式の頂点、焦点、長軸、短軸を求めなさい。また、グラフも描きなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
頂点は\((3,0),(-3,0),(0,2),(0,-2)\)
焦点は\((\sqrt{3^2-2^2},0),(-\sqrt{3^2-2^2},0)\)
よって、\((\sqrt{5},0),(-\sqrt{5},0)\)
長軸は\(6\)
短軸は\(4\)
(2)\(\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
頂点は\((1,0),(-1,0),(0,2),(0,-2)\)
焦点は\((0,\sqrt{2^2-1^2}),(0,-\sqrt{2^2-1^2})\)
よって、\((0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})\)
長軸は\(4\)
短軸は\(2\)
【例題】次の楕円の方程式を求めなさい。
(1)焦点が\((2,0),(-2,0)\)で\(2\)点からの距離の和が\(6\)
求める楕円の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の和が\(6\)なので、
\(2a=6\)
\(a=3\)
焦点より、\(\sqrt{a^2-b^2}=2\)なので、
\(\sqrt{3^2-b^2}=2\)
\(b^2=5\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
(2)焦点が\((0,3),(0,-3)\)で\(2\)点からの距離の和が\(10\)
求める楕円の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の和が\(10\)なので、
\(2b=10\)
\(b=5\)
焦点より、\(\sqrt{b^2-a^2}=3\)なので、
\(\sqrt{5^2-a^2}=3\)
\(a^2=16\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
【例題】円\(x^2+y^2=16\)を\(x\)軸を基準として\(y\)軸方向に\(\displaystyle \frac{3}{4}\)倍すると、どのような曲線になるか答えなさい。
円の座標を\((s,t)\)とおくと、
\(\displaystyle x=s,y=\frac{3}{4}t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=x,t=\frac{4}{3}y\)
\(s^2+t^2=16\)より、
\(\displaystyle x^2+\left(\frac{4}{3}y\right)^2=16\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
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