2-1-2 空間のベクトル(要点)

【空間のベクトル演算】

空間のベクトル演算に関しても平面上の場合と同様に定める。
(1)交換法則\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
(2)結合法則\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
(3)\(k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}\)
(4)分配法則\((k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}\)
(5)分配法則\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
(6)逆ベクトル\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\)
(7)零ベクトル\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\)

【例題】平面六面体\(ABCD-EFGH\)において、\(\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AD}=\vec{b},\overrightarrow{AE}=\vec{c}\)とするとき、\(\overrightarrow{FC},\overrightarrow{HB}\)をそれぞれ\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。

\(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=\vec{b}-\vec{c}\)
\(\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\)

【空間ベクトルの成分表示】

空間ベクトル\(\vec{a}\)を座標で表すと、
\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)
と表すことができる。

【空間ベクトルの相等】

\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)のとき、
\(\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow a_1=b_1\)かつ\(a_2=b_2\)かつ\(a_3=b_3\)

【空間ベクトルの大きさ】

\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)のとき、
\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

【成分による空間ベクトルの演算】

(1)\((a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)\)
\(=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\)
(2)\((a_1,a_2,a_3)-(b_1,b_2,b_3)\)
\(=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)\)
(3)\(k(a_1,a_2,a_3)=(ka_1,ka_2,ka_3)\)

【空間ベクトルの分解】

\(3\)つのベクトル\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)が\(\vec{0}\)でなく、同一平面上にないとき、ベクトル\(\vec{p}\)は
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(\vec{a}=(-3,1,-2),\vec{b}=(1,0,2)\)のとき、\(-\vec{a}+2\vec{b}\)を成分で表しなさい。また、その大きさを求めなさい。

\(-\vec{a}+2\vec{b}\)
\(=-(-3,1,-2)+2(1,0,2)\)
\(=(3,-1,2)+(2,0,4)\)
\(=(5,-1,6)\)

\(|-\vec{a}+2\vec{b}|\)
\(=\sqrt{5^2+(-1)^2+6^2}\)
\(=\sqrt{62}\)

(2)\(\vec{a}=(-3,1,-2),\vec{b}=(1,0,2),\vec{c}=(3,-3,1)\)のとき、\(\vec{p}=(1,2,3)\)を\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)の形で表しなさい。

\((1,2,3)=s(-3,1,-2)+t(1,0,2)+u(3,-3,1)\)
\((1,2,3)=(-3s+t+3u,s-3u,-2s+2t+u)\)
\(-3s+t+3u=1,s-3u=2,-2s+2t+u=3\)を解くと
\(s=-1,t=1,u=-1\)
よって、
\(\vec{p}=-\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\)

【空間ベクトルの平行】

\(\vec{a}\neq\vec{0}\)のとき、
\(\vec{a}//\vec{b} \Leftrightarrow \vec{b}=k\vec{a}\)となる実数\(k\)が存在する。

【例題】\(A(3,1,-2),B(1,0,0)\)のとき、\(\overrightarrow{AB}\)に平行で大きさが\(3\)のベクトル\(\vec{p}\)を求めなさい。

\(\overrightarrow{AB}=(1-3,0-1,0+2)=(-2,-1,2)\)
\(\vec{p}=k\overrightarrow{AB}\)より、
\(\vec{p}=(-2k,-k,2k)\)
\(|\vec{p}|=3\)より、
\(\sqrt{(-2k)^2+(-k)^2+(2k)^2}=3\)
\(9k^2=0\)
\(k=\pm1\)
よって、
\(\vec{p}=(-2,-1,2),(2,1,-2)\)