【高校数学C】3-1-4 複素数と図形｜要点まとめ
このページでは、高校数学C「複素数と図形」について整理します。複素数を平面上の点として表す方法や、複素数と図形の関係、2直線のなす角を求める考え方をわかりやすくまとめました。
複素数の点の表し方
【複素数の内分点、外分点】
\(2\)点\(A(\alpha),B(\beta)\)を結ぶ線分\(AB\)があるとき、
(1)\(m:n\)に内分する点は\(\displaystyle \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\)
(2)\(m:n\)に外分する点は\(\displaystyle \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}\)
(3)中点は\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\)
【複素数の重心】
\(3\)点\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)を頂点とする\(△ABC\)の重心は、
\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\)
【例題】\(2\)点\(P(-1+5i),Q(5+2i)\)を結ぶ線分\(PQ\)に対して、次のような点の複素数を求めなさい。
\(\displaystyle =\frac{3+12i}{3}\)
\(=1+4i\)
\(\displaystyle =\frac{7-8i}{-1}\)
\(=-7+8i\)
\(\displaystyle =\frac{4+7i}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{6+3i}{3}\)
\(=2+i\)
複素数と図形の関係
【円】
\(|z-\alpha|=r\)を満たす点\(z\)の描く図形は、点\(A(\alpha)\)を中心とする半径\(r\)の円である。
【垂直二等分線】
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)を満たす点\(z\)の描く図形は、\(2\)点\(A(\alpha),B(\beta)\)を結ぶ線分\(AB\)の垂直二等分線である。
【例題】次の方程式を満たす点\(z\)の描く図形を求めなさい。
よって、点\(z\)は点\(\displaystyle \frac{4-5i}{3}\)を中心とする半径\(2\)の円
\(z\bar{z}=4(z+3i)\overline{(z+3i)}\)
\(z\bar{z}=4(z+3i)(\bar{z}-3i)\)
\(z\bar{z}=4z\bar{z}-12iz+12i\bar{z}+36\)
\(z\bar{z}-4iz+4i\bar{z}+12=0\)
\((z+4i)(\bar{z}-4i)=4\)
\((z+4i)\overline{(z-4i)}=4\)
\(|z+4i|^2=2^2\)
\(|z+4i|=2\)
よって、点\(z\)は点\(4i\)を中心とする半径\(2\)の円
複素数を用いた2直線のなす角
【2直線のなす角】
異なる\(3\)点\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)について、
\(\displaystyle \angle BAC=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)
【3点が一直線上にある条件】
異なる\(3\)点\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)について3点が一直線上にあるならば、
\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)が実数である。
【2直線の垂直条件】
異なる\(3\)点\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)について\(AB\perp AC\)ならば、
\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)が純虚数である。
\(\displaystyle =\arg\frac{-2-4i}{-3-i}\)
\(\displaystyle =\arg(1+i)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\)
【例題】\(3\)点\(A(2+3i),B(-1+2i),C(a+i)\)のとき、次の条件を満たす\(a\)の値を求めなさい。
\(\displaystyle =\frac{(a+i)-(2+3i)}{(-1+2i)-(2+3i)}\)
\(\displaystyle =\frac{(a-2)-2i}{-3-i}\)
\(\displaystyle =\frac{(-3a+8)+(a+4)i}{10}\)
よって、\(A,B,C\)が一直線上にあるのは、\(a+4=0\)なので、
\(a=-4\)
\(\displaystyle a=\frac{8}{3}\)