【高校数学C】1-2-2 ベクトルの図形への応用｜問題集

\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}\)とすると、
\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}\vec{b},\overrightarrow{AR}=\frac{2}{3}\vec{c}\)
\(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{b}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(-3\vec{b}+8\vec{c})\)
\(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}\)
\(\displaystyle =\overrightarrow{AB}+\frac{6}{5}\overrightarrow{BC}\)
\(\displaystyle =\vec{b}+\frac{6}{5}(\vec{c}-\vec{b})\)
\(\displaystyle =\frac{-\vec{b}+6\vec{c}}{5}\)
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}\)
\(\displaystyle =\frac{-\vec{b}+6\vec{c}}{5}-\frac{1}{4}\vec{b}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{20}(-3\vec{b}+8\vec{c})\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\frac{9}{5}\overrightarrow{PR}\)
したがって、\(P,Q,R\)は一直線上にある。

\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}\)とすると、
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\)
\(\displaystyle =\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{d}\)
\(\displaystyle =\frac{5\vec{b}+3\vec{d}}{5}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{5\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}}{3+5}\)
\(\displaystyle =\frac{5\vec{b}+3\vec{d}}{8}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AE}\)
したがって、\(A,F,E\)は一直線上にある。

点\(P\)は線分\(AD\)上にあるので、\(AP:PD=s:(1-s)\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OD}+(1-s)\overrightarrow{OA}\)
\(\displaystyle =(1-s)\vec{a}+\frac{1}{3}s\vec{b}\)

点\(P\)は線分\(BC\)上にあるので、\(BP:PC=t:(1-t)\)
\(\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{5}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}\)

\(\displaystyle 1-s=\frac{3}{5}t,\frac{1}{3}s=1-t\)
これを解くと、\(\displaystyle s=\frac{1}{2},t=\frac{5}{6}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{6}\vec{b}\)

点\(D\)は線分\(OE\)上にあるので、
\(\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OD}\)
\(\displaystyle =k\left(\frac{2\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}}{3+2}\right)\)

\(\displaystyle =k\left(\frac{2}{5}・\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}k\vec{a}+\frac{3}{5}k\vec{b}\)
\(ODE\)は直線であるので、
\(\displaystyle \frac{1}{5}k+\frac{3}{5}k=1\)
\(\displaystyle k=\frac{5}{4}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}\)