曲線の平行移動
【曲線の平行移動】
曲線\(f(x,y)=0\)を\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動して得られる曲線の方程式は
\(f(x-p,y-q)=0\)
【例題】楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)を\(x\)軸方向に\(2\)、\(y\)軸方向に\(-1\)だけ平行移動した楕円の方程式と焦点を求めなさい。
楕円の方程式は
\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{9}=1\)
焦点は\((6,-1),(-2,-1)\)
【例題】次の方程式はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(y^2+8y-8x=0\)
\(y^2+8y+16=8x+16\)
\((y+4)^2=8(x+2)\)
よって、
放物線\(y^2=8x\)を\(x\)軸方向に\(-2\)、\(y\)軸方向に\(-4\)だけ平行移動した放物線
(2)\(4x^2-y^2+24x+4y+48=0\)
\(4(x^2+6x+9)-36-(y^2-4y+4)+4+48=0\)
\(4(x+3)^2-(y-2)^2=-16\)
\(\displaystyle \frac{(x+3)^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{16}=-1\)
よって、
双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=-1\)を\(x\)軸方向に\(-3\)、\(y\)軸方向に\(2\)だけ平行移動した双曲線