極座標と直交座標
【直交座標】
平面上の点\(P\)は座標\((x,y)\)により定まる。これを点\(P\)の直交座標という。
【極座標】
線分\(OP\)の長さ\(r\)、\(OX\)と\(OP\)のなす角\(\theta\)で座標\((r,\theta)\)により定まる。これを点\(P\)の極座標という。
点\(O\)を極、角\(\theta\)を偏角、半直線\(OX\)を始線という。
【極座標と直交座標の関係】
点\(P\)の極座標\((r,\theta)\)と直交座標\((x,y)\)には、次の関係が成り立つ。
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
【例題】次の座標を図に表しなさい。
(1)\(\displaystyle A\left(2,\frac{\pi}{6}\right)\)
(2)\(\displaystyle B\left(3,\frac{5}{6}\pi\right)\)
(3)\(\displaystyle C\left(1,-\frac{\pi}{2}\right)\)
【例題】次の極座標の直交座標を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \left(2,\frac{3}{4}\pi\right)\)
\(\displaystyle x=2\cos\frac{3}{4}\pi=-\sqrt{2}\)
\(\displaystyle y=2\sin\frac{3}{4}\pi=\sqrt{2}\)
よって、
\((-\sqrt{2},\sqrt{2})\)
(2)\(\displaystyle \left(1,-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\displaystyle x=1\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle y=1\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
【例題】次の直交座標の極座標を求めなさい。ただし、\(0\leqq\theta<2\pi\)とする。
(1)\((1,-1)\)
\(r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{7}{4}\pi\)
よって、
\(\displaystyle \left(\sqrt{2},\frac{7}{4}\pi\right)\)
(2)\((-\sqrt{3},1)\)
\(r=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=2\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{-\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\)より、
\(\displaystyle \theta=\frac{5}{6}\pi\)
よって、
\(\displaystyle \left(2,\frac{5}{6}\pi\right)\)
(3)\((-3,0)\)
\(r=\sqrt{(-3)^2+0^2}=3\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{-3}{3},\sin\theta=\frac{0}{3}\)より、
\(\displaystyle \theta=\pi\)
よって、
\((3,\pi)\)