【高校数学C】4-2-1 媒介変数表示｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「媒介変数表示」について整理します。媒介変数を使った曲線の表し方を基本から解説し、円や楕円などの具体例を通して理解を深めます。公式の意味や導き方を確認し、入試や定期テスト対策に役立つ基礎力を身につけましょう。
媒介変数表示とは
【媒介変数表示】
平面上の曲線がある変数\(x=f(t),y=g(t)\)で表されるとき、その曲線の媒介変数表示といい、変数\(t\)を媒介変数という。
【円の媒介変数表示】
円\(x^2+y^2=r^2\)の媒介変数表示は
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
【楕円の媒介変数表示】
楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示は
\(x=a\cos\theta\)
\(y=b\sin\theta\)
【双曲線の媒介変数表示】
双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示は
\(\displaystyle x=\frac{a}{\cos\theta}\)
\(y=b\tan\theta\)
【媒介変数表示された曲線の平行移動】
曲線\(x=f(t),y=g(t)\)を\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動して得られる曲線の媒介変数表示は
\(x=f(t)+p\)
\(y=g(t)+q\)
【例題】\(\theta\)を媒介変数として、次の曲線の媒介変数表示を求めなさい。
よって、
\(x=3\cos\theta\)
\(y=3\sin\theta\)
よって、
\(x=4\cos\theta\)
\(y=3\sin\theta\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{\cos\theta}\)
\(y=2\tan\theta\)
【例題】次の曲線はどのような図形を表すか答えなさい。
\(\displaystyle x=\frac{y^2}{8}\)
\(y^2=8x\)
よって、
放物線\(y^2=8x\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)
よって、
楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)を\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動した楕円