媒介変数表示
【媒介変数表示】
平面上の曲線がある変数\(x=f(t),y=g(t)\)で表されるとき、その曲線の媒介変数表示といい、変数\(t\)を媒介変数という。
【円の媒介変数表示】
円\(x^2+y^2=r^2\)の媒介変数表示は
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
【楕円の媒介変数表示】
楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示は
\(x=a\cos\theta\)
\(y=b\sin\theta\)
【双曲線の媒介変数表示】
双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)の媒介変数表示は
\(\displaystyle x=\frac{a}{\cos\theta}\)
\(y=b\tan\theta\)
【媒介変数表示された曲線の平行移動】
曲線\(x=f(t),y=g(t)\)を\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動して得られる曲線の媒介変数表示は
\(x=f(t)+p\)
\(y=g(t)+q\)
【例題】\(\theta\)を媒介変数として、次の曲線の媒介変数表示を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2=9\)
\(x^2+y^2=3^2\)
よって、
\(x=3\cos\theta\)
\(y=3\sin\theta\)
(2)\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
よって、
\(x=4\cos\theta\)
\(y=3\sin\theta\)
(3)\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{\cos\theta}\)
\(y=2\tan\theta\)
【例題】次の曲線はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(x=2t^2,y=4t\)
\(\displaystyle x=2・\left(\frac{y}{4}\right)^2\)
\(\displaystyle x=\frac{y^2}{8}\)
\(y^2=8x\)
よって、
放物線\(y^2=8x\)
(2)\(x=2\cos\theta+1,y=4\sin\theta-2\)
与えられた曲線は\(x=2\cos\theta,y=4\sin\theta\)を\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動した曲線である。
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)
よって、
楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)を\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動した楕円