1.\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とする。次の内積\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。
(1)\(|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=3,\theta=45°\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=4・3\cos45°\)
\(\displaystyle =12・\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=6\sqrt{2}\)
(2)\(|\vec{a}|=6,|\vec{b}|=6,\theta=150°\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=6・6\cos150°\)
\(\displaystyle =36・-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-18\sqrt{3}\)
2.ベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)について、次の内積\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(2,5),\vec{b}=(3,-2)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=2・3+5・(-2)\)
\(=-4\)
(2)\(\vec{a}=(2,-4),\vec{b}=(5,3)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=2・5-4・3\)
\(=-2\)
(3)\(\vec{a}=(1,\sqrt{3}),\vec{b}=(\sqrt{3},3)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=1・\sqrt{3}+\sqrt{3}・3\)
\(=4\sqrt{3}\)
3.次のベクトルについて、なす角を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(-3,1)\)
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{2・(-3)+1・1}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{(-3)^2+1^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって、\(\theta=135°\)
(2)\(\vec{a}=(1,\sqrt{3}),\vec{b}=(\sqrt{3},1)\)
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{1・\sqrt{3}+\sqrt{3}・1}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}\sqrt{4}}\)
\(\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって、\(\theta=30°\)
(3)\(\vec{a}=(3,-1),\vec{b}=(2,6)\)
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3・2-1・6}{\sqrt{3^2+2^2}\sqrt{(-1)^2+6^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{6-6}{\sqrt{13}\sqrt{37}}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(\theta=90°\)
(4)\(\vec{a}=(-4,2),\vec{b}=(2,-1)\)
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{-4・2+2・(-1)}{\sqrt{(-4)^2+2^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{-10}{\sqrt{20}\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle =-1\)
よって、\(\theta=180°\)
4.次のベクトルが垂直になるような\(x\)を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(3,6),\vec{b}=(x,4)\)
\(\vec{a}・\vec{b}=3x+24\)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)より、
\(3x+24=0\)
よって、\(x=-8\)
(2)\(\vec{a}=(2,-4),\vec{b}=(5+x,3+x)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=2(5+x)-4(3+x)\)
\(=-2x-2\)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)より、
\(-2x-2=0\)
よって、\(x=-1\)
(3)\(\vec{a}=(x,-1),\vec{b}=(x,x+2)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=x^2-(x+2)\)
\(=x^2-x-2\)
\(=(x-2)(x+1)\)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)より、
\((x-2)(x+1)=0\)
よって、\(x=-1,2\)
5.次の問いに答えなさい。
(1)\(\vec{a}=(2,1)\)に垂直で大きさが\(\sqrt{10}\)のベクトル\(\vec{b}\)を求めなさい。
\(\vec{b}=(x,y)\)とおく。
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)より、\(2x+y=0\)
\(|\vec{b}|=\sqrt{10}\)より、\(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{10}\)
これを解くと、
\(x=\sqrt{2},y=-2\sqrt{2}\)
\(x=-\sqrt{2},y=2\sqrt{2}\)
よって、
\(\vec{b}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2}),(-\sqrt{2},2\sqrt{2}))\)
(2)\(\vec{a}=(4,3)\)に垂直な単位ベクトル\(\vec{e}\)を求めなさい。
\(\vec{e}=(x,y)\)とおく。
\(\vec{a}\perp\vec{e}\)より、\(4x+3y=0\)
\(|\vec{e}|=1\)より、\(\sqrt{x^2+y^2}=1\)
これを解くと、
\(\displaystyle x=\frac{3}{5},y=-\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle x=-\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}\)
よって、
\(\displaystyle \vec{e}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right),\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\)
6.\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=2,\vec{a}・\vec{b}=-3\)のとき、次の値を求めなさい。
(1)\(|\vec{a}+\vec{b}|\)
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2+2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=3^2+2・(-3)+2^2\)
\(=7\)
\(|\vec{a}+\vec{b}|>0\)より、
\(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}\)
(2)\(|\vec{a}-2\vec{b}|\)
\(|\vec{a}-2\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2-4\vec{a}・\vec{b}+4|\vec{b}|^2\)
\(=3^2-4・(-3)+4・2^2\)
\(=37\)
\(|\vec{a}-2\vec{b}|>0\)より、
\(|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{37}\)
7.\(|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=2\)でベクトル\(3\vec{a}-2\vec{b},\vec{a}+4\vec{b}\)が垂直である。
(1)\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。
\((3\vec{a}-2\vec{b})・(\vec{a}+4\vec{b})=0\)
\(3|\vec{a}|^2+10\vec{a}・\vec{b}-8|\vec{b}|^2=0\)
\(12+10\vec{a}・\vec{b}-32=0\)
\(10\vec{a}・\vec{b}=20\)
\(\vec{a}・\vec{b}=2\)
(2)\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{2・2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、\(\theta=60°\)
8.\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=2,|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}\)である。
(1)\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2-2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=3^2-2\vec{a}・\vec{b}+2^2\)
\(=13-2\vec{a}・\vec{b}\)
\(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}\)より、
\(7=13-2\vec{a}・\vec{b}\)
\(\vec{a}・\vec{b}=3\)
(2)\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{3・2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、\(\theta=60°\)
(3)\(|2\vec{a}-\vec{b}|\)を求めなさい。
\(|2\vec{a}-\vec{b}|^2\)
\(=4|\vec{a}|^2-4\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=4・3^2-4・3+2^2\)
\(=36-12+4\)
\(=28\)
\(|2\vec{a}-\vec{b}|>0\)より、
\(|2\vec{a}-\vec{b}|=2\sqrt{7}\)
9.\(3\)点\(O(0,0),A(3,1),B(2,4)\)について、次の問いに答えなさい。
(1)\(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}\)を求めなさい。
\(\overrightarrow{OA}=(3,1)\)
\(\overrightarrow{OB}=(2,4)\)
\(\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}\)
\(=3・2+1・4\)
\(=10\)
(2)\(∠AOB\)の大きさを求めなさい。
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{10}{\sqrt{3^2+1^2}\sqrt{2^2+4^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{10}{\sqrt{10}\sqrt{20}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって、\(\theta=45°\)
(3)\(△OAB\)の面積\(S\)を求めなさい。
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{10}\sqrt{20}\sin45°=5\)
10.\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=2,\vec{a}・\vec{b}=4\)のとき、\(|\vec{a}+t\vec{b}|\)の最小値とそのときの実数\(t\)を求めなさい。
\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2+2t\vec{a}・\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2\)
\(=3^2+2t・4+2^2・t^2\)
\(=4t^2+8t+9\)
\(=4(t+1)^2+5\)
よって、
\(t=-1\)のとき、最小値\(\sqrt{5}\)