双曲線
【双曲線】
平面上の\(2\)点\(F,F'\)からの距離の差が等しい点の軌跡を双曲線といい、\(F,F'\)を焦点という。
\(2\)つの焦点\(F,F'\)を結ぶ線分の中点\(O\)を双曲線の中心という。
直線\(FF'\)を主軸といい、主軸と双曲線の交点\(AA'\)を頂点という。
【双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)の方程式】
・頂点は\((a,0),(-a,0)\)、中心は原点
・焦点は\((\sqrt{a^2+b^2},0),(-\sqrt{a^2+b^2},0)\)
・\(x\)軸、\(y\)軸、原点に関して対称
・双曲線上の点から\(2\)つの焦点までの距離の差は\(2a\)
・漸近線は\(2\)直線\(\displaystyle y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)
【双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\)の方程式】
・頂点は\((0,b),(0,-b)\)、中心は原点
・焦点は\((0,\sqrt{a^2+b^2}),(0,-\sqrt{a^2+b^2})\)
・\(x\)軸、\(y\)軸、原点に関して対称
・双曲線上の点から\(2\)つの焦点までの距離の差は\(2b\)
・漸近線は\(2\)直線\(\displaystyle y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x\)
【例題】次の双曲線の方程式の頂点、焦点、漸近線を求めなさい。また、グラフも描きなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
頂点は\((3,0),(-3,0)\)
焦点は\((\sqrt{3^2+4^2},0),(-\sqrt{3^2+4^2},0)\)
よって、\((5,0),(-5,0)\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{4}{3}x,y=-\frac{4}{3}x\)
(2)\(\displaystyle x^2-3y^2=-12\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{(2\sqrt{3})^2}-\frac{y^2}{2^2}=-1\)
頂点は\((0,2),(0,-2)\)
焦点は\((0,\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}),(0,-\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2})\)
よって、\((0,4),(0,-4)\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x\)
【例題】次の双曲線の方程式を求めなさい。
(1)焦点が\((2,0),(-2,0)\)で\(2\)点からの距離の差が\(2\)
求める双曲線の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の差が\(2\)なので、
\(2a=2\)
\(a=1\)
焦点より、\(\sqrt{a^2+b^2}=2\)なので、
\(\sqrt{1^2+b^2}=4\)
\(b^2=3\)
よって、
\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
(2)焦点が\((0,3),(0,-3)\)で漸近線が\(2\)直線\(y=\sqrt{2}x,y=-\sqrt{2}x\)
求める双曲線の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\)
漸近線より、\(\displaystyle \frac{b}{a}=\sqrt{2}\)なので、
\(b=\sqrt{2}a\)
焦点より、\(\sqrt{a^2+b^2}=3\)なので、
\(\sqrt{a^2+2a^2}=3\)
\(a=\sqrt{3},b=\sqrt{6}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=-1\)