1.次の\(2\)つのベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(1,4,9),\vec{b}=(-8,3,5)\)
\(\vec{a}・\vec{b}=1・(-8)+4・3+9・5=49\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{49}{\sqrt{1^2+4^2+9^2}\sqrt{(-8)^2+3^2+5^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=60°\)
(2)\(\vec{a}=(2,-1-2),\vec{b}=(4,3,-5)\)
\(\vec{a}・\vec{b}=2・4-1・3-2・(-5)=15\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{15}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\sqrt{4^2+3^2+(-5)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=45°\)
2.\(A(2,1,0),B(0,2,1),C(1,0,2)\)を頂点とする\(△ABC\)において、\(\angle BAC\)の大きさを求めなさい。
\(\overrightarrow{AB}=(0-2,2-1,1-0)=(-2,1,1)\)
\(\overrightarrow{AC}=(1-2,0-1,2-0)=(-1,-1,2)\)
\(\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}=-2・(-1)+1・(-1)+1・2=3\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=60°\)
3.次の\(2\)つのベクトルが垂直になるように\(x\)を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(1,4,9),\vec{b}=(-8,3+4x,5-x)\)
\(\vec{a}・\vec{b}=0\)より、
\(1・(-8)+4(3+4x)+9(5-x)=0\)
\(7x+49=0\)
\(x=-7\)
(2)\(\vec{a}=(1,2,x),\vec{b}=(-x^2,2,3)\)
\(\vec{a}・\vec{b}=0\)より、
\(1・(-x^2)+2・2+x・3=0\)
\(x^2-3x-4=0\)
\((x-4)(x+1)=0\)
\(x=-1,4\)
4.\(\vec{a}=(1,0,1),\vec{b}=(-1,1,0)\)の両方に垂直で、大きさ\(3\)のベクトル\(\vec{p}\)を求めなさい。
\(\vec{p}=(x,y,z)\)とおく。
\(\vec{a}・\vec{p}=0\)より、\(x+z=0\)
\(\vec{b}・\vec{p}=0\)より、\(-x+y=0\)
\(|\vec{p}|=3\)より、\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3\)
これを解くと、
\(\vec{p}=(\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{3})\)