【高校数学C】2-1-3 空間ベクトルの内積｜問題集

\(\vec{a}・\vec{b}=1・(-8)+4・3+9・5=49\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{49}{\sqrt{1^2+4^2+9^2}\sqrt{(-8)^2+3^2+5^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=60°\)

\(\vec{a}・\vec{b}=2・4-1・3-2・(-5)=15\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{15}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\sqrt{4^2+3^2+(-5)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=45°\)

\(\overrightarrow{AB}=(0-2,2-1,1-0)=(-2,1,1)\)
\(\overrightarrow{AC}=(1-2,0-1,2-0)=(-1,-1,2)\)
\(\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}=-2・(-1)+1・(-1)+1・2=3\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=60°\)

\(\vec{a}・\vec{b}=0\)より、
\(1・(-8)+4(3+4x)+9(5-x)=0\)
\(7x+49=0\)
\(x=-7\)

\(\vec{a}・\vec{b}=0\)より、
\(1・(-x^2)+2・2+x・3=0\)
\(x^2-3x-4=0\)
\((x-4)(x+1)=0\)
\(x=-1,4\)

\(\vec{p}=(x,y,z)\)とおく。
\(\vec{a}・\vec{p}=0\)より、\(x+z=0\)
\(\vec{b}・\vec{p}=0\)より、\(-x+y=0\)
\(|\vec{p}|=3\)より、\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3\)
これを解くと、
\(\vec{p}=(\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{3})\)