2次曲線
【2次曲線】
\(x,y\)の2次方程式\(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)で表される曲線を2次曲線という。放物線、楕円、双曲線は2次曲線である。
【2次曲線と直線の共有点】
2次曲線と直線の共有点は、それらの連立方程式の実数解で得られる。また、判別式\(D=b^2-4ac\)によって、共有点の個数を判別できる。
【2次曲線の接線】
2次曲線と直線の連立方程式で重解を持つとき、直線は2次曲線に接するといい、この直線を2次曲線の接線、共有点を接点という。
【例題】\(k\)を定数とするとき、次の曲線と直線の共有点の個数を答えなさい。
(1)\(y^2=4x,y=x+k\)
\((x+k)^2=4x\)
\(x^2+2(k-2)x+k^2=0\)
判別式\(D\)は
\(D=4(k-2)^2-4・1・k^2=-16k+16\)
よって、
\(k<1\)のとき、\(2\)個
\(k=1\)のとき、\(1\)個
\(k>1\)のとき、\(0\)個
(2)\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1,y=kx\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-(kx)^2=1\)
\((1-4k^2)x^2-4=0\)
判別式\(D\)は
\(D=0^2-4・(1-4k^2)・(-4)=16-64k^2\)
よって、
\(\displaystyle -\frac{1}{2}< k<\frac{1}{2}\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle k\leqq-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\leqq k\)のとき、\(0\)個
【例題】点\((0,-2)\)から楕円\(\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1\)に引いた接線の方程式を求めなさい。
求める接線の方程式を\(y=mx-2\)とおく。
\(\displaystyle x^2+\frac{(mx-2)^2}{3}=1\)
\(3x^2+(mx-2)^2=3\)
\((3+m^2)x^2-4mx+1=0\)
判別式\(D\)は
\(D=(-4m)^2-4・(3+m^2)・1=12m^2-12\)
\(D=0\)のとき、\(m=\pm1\)
よって、
\(y=x-2,y=-x-2\)