【高校数学C】1-1-3 ベクトルの成分｜要点まとめ

このページでは、高校数学Cの「ベクトルの成分」について要点を整理しています。ベクトルの成分表示の考え方、成分の求め方、2つのベクトルの分解、座標平面上の点とベクトルの対応を、例題を交えてわかりやすく解説します。

ベクトルの成分とは｜成分表示の意味と求め方

【ベクトルの成分表示】
ベクトル\(\vec{a}\)を座標で表すと、
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)
と表すことができる。これを成分表示といい、\(a_1,a_2\)を\(\vec{a}\)の成分という。

【ベクトルの相等】
\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のとき、
\(\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow a_1=b_1\)かつ\(a_2=b_2\)

【ベクトルの大きさ】
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)のとき、
\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

【成分によるベクトルの演算】
(1)\((a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)\)
(2)\((a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2)\)
(3)\(k(a_1,a_2)=(ka_1,ka_2)\)

【例題】\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)のとき、\(-3\vec{a}+2\vec{b}\)を成分で表しなさい。また、その大きさを求めなさい。

ベクトルの分解｜2つの方向ベクトルへの表し方

【ベクトルの分解】
\(2\)つのベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)が\(\vec{0}\)でなく平行でないとき、ベクトル\(\vec{p}\)は
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)

【例題】\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)のとき、\(\vec{p}=(10,0)\)を\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)の形で表しなさい。

座標平面上の点とベクトルの関係｜成分と座標の対応

【座標平面上の点とベクトル】
\(2\)点\(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)\)に対して、
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

【例題】次の問いに答えなさい

(1)\(4\)点\(A(4,1),B(3,-2),C(-2,0),D\)を頂点とする平行四辺形\(ABCD\)がある。頂点\(D\)を求めなさい。
(2)\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(4,1),\vec{b}=(3+t,-2+t)\)が平行になるように\(t\)の値を求めなさい。
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