【高校数学C】1-1-3 ベクトルの成分｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「ベクトルの成分」について要点を整理しています。ベクトルの成分表示の考え方、成分の求め方、2つのベクトルの分解、座標平面上の点とベクトルの対応を、例題を交えてわかりやすく解説します。
ベクトルの成分とは｜成分表示の意味と求め方
【ベクトルの成分表示】
ベクトル\(\vec{a}\)を座標で表すと、
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)
と表すことができる。これを成分表示といい、\(a_1,a_2\)を\(\vec{a}\)の成分という。
【ベクトルの相等】
\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のとき、
\(\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow a_1=b_1\)かつ\(a_2=b_2\)
【ベクトルの大きさ】
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)のとき、
\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
【成分によるベクトルの演算】
(1)\((a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)\)
(2)\((a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2)\)
(3)\(k(a_1,a_2)=(ka_1,ka_2)\)
\(=-3(4,-1)+2(3,-2)\)
\(=(-12,3)+(6,-4)\)
\(=(-6,-1)\)
\(|-3\vec{a}+2\vec{b}|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{37}\)
ベクトルの分解｜2つの方向ベクトルへの表し方
【ベクトルの分解】
\(2\)つのベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)が\(\vec{0}\)でなく平行でないとき、ベクトル\(\vec{p}\)は
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)
\((10,0)=(4s+3t,-s-2t)\)
\(4s+3t=10,-s-2t=0\)を解くと
\(s=4,t=-2\)
よって、
\(\vec{p}=4\vec{a}-2\vec{b}\)
座標平面上の点とベクトルの関係｜成分と座標の対応
【座標平面上の点とベクトル】
\(2\)点\(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)\)に対して、
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)
【例題】次の問いに答えなさい
平行四辺形\(ABCD\)なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB}=(3-4,-2-1)=(-1,-3)\)
\(\overrightarrow{DC}=(-2-x,0-y)=(-2-x,-y)\)
\(-1=-2-x,-3=-y\)をとくと、
\(x=-1,y=3\)
よって、
\(D(-1,3)\)
\((3+t,-2+t)=k(4,1)\)
\(3+t=4k,-2+t=k\)をとくと、
\(\displaystyle k=\frac{5}{3},t=\frac{11}{3}\)
よって、
\(\displaystyle t=\frac{11}{3}\)