1-1-3 ベクトルの成分(要点)

【ベクトルの成分表示】

ベクトル\(\vec{a}\)を座標で表すと、
\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)
と表すことができる。これを成分表示といい、\(a_1,a_2\)を\(\vec{a}\)の成分という。

【ベクトルの相等】

\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のとき、
\(\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow a_1=b_1\)かつ\(a_2=b_2\)

【ベクトルの大きさ】

\(\vec{a}=(a_1,a_2)\)のとき、
\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

【成分によるベクトルの演算】

(1)\((a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)\)
(2)\((a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2)\)
(3)\(k(a_1,a_2)=(ka_1,ka_2)\)

【例題】\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)のとき、\(-3\vec{a}+2\vec{b}\)を成分で表しなさい。また、その大きさを求めなさい。

\(-3\vec{a}+2\vec{b}\)
\(=-3(4,-1)+2(3,-2)\)
\(=(-12,3)+(6,-4)\)
\(=(-6,-1)\)

\(|-3\vec{a}+2\vec{b}|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{37}\)

【ベクトルの分解】

\(2\)つのベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)が\(\vec{0}\)でなく平行でないとき、ベクトル\(\vec{p}\)は
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)

【例題】\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)のとき、\(\vec{p}=(10,0)\)を\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\)の形で表しなさい。

\((10,0)=s(4,-1)+t(3,-2)\)
\((10,0)=(4s+3t,-s-2t)\)
\(4s+3t=10,-s-2t=0\)を解くと
\(s=4,t=-2\)
よって、
\(\vec{p}=4\vec{a}-2\vec{b}\)

【座標平面上の点とベクトル】

\(2\)点\(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)\)に対して、
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

【例題】次の問いに答えなさい

(1)\(4\)点\(A(4,1),B(3,-2),C(-2,0),D\)を頂点とする平行四辺形\(ABCD\)がある。頂点\(D\)を求めなさい。

頂点\(D\)の座標を\((x,y)\)とおく。
平行四辺形\(ABCD\)なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB}=(3-4,-2-1)=(-1,-3)\)
\(\overrightarrow{DC}=(-2-x,0-y)=(-2-x,-y)\)
\(-1=-2-x,-3=-y\)をとくと、
\(x=-1,y=3\)
よって、
\(D(-1,3)\)

(2)\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(4,1),\vec{b}=(3+t,-2+t)\)が平行になるように\(t\)の値を求めなさい。

\(\vec{b}=k\vec{a}\)より、
\((3+t,-2+t)=k(4,1)\)
\(3+t=4k,-2+t=k\)をとくと、
\(\displaystyle k=\frac{5}{3},t=\frac{11}{3}\)
よって、
\(\displaystyle t=\frac{11}{3}\)