【高校数学C】1-1-4 ベクトルの内積｜要点まとめ

このページでは、高校数学Cの「ベクトルの内積」について整理しています。内積の定義や公式、なす角との関係、内積の性質、そして図形問題への応用までをわかりやすく解説します。内積の意味を理解し、計算力と論理的思考力を養いましょう。

ベクトルの内積の定義と意味

【内積の定義】
\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とするとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)

【内積の成分】
\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

【例題】次の内積を求めなさい。

(1)\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,\vec{a}\)と\(\vec{b}\)のなす角が\(60°\)
(2)\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)

内積とベクトルのなす角の関係

【ベクトルのなす角】
\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のなす角を\(\theta\)とすると、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\)

【ベクトルの垂直条件】
\(\vec{0}\)でない\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)とすると、
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}・\vec{b}=0 \)
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0 \)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(\vec{a}=(1,4),\vec{b}=(5,3)\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
(2)\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3+2x,-2+x)\)が垂直であるとき、\(x\)を求めなさい。

内積の性質と計算公式

【内積の性質】
(1)\(\vec{a}・\vec{b}=\vec{b}・\vec{a}\)
(2)\(\vec{a}・(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}・\vec{b}+\vec{a}・\vec{c}\)
(3)\((k\vec{a})・\vec{b}=\vec{a}・(k\vec{b})=k(\vec{a}・\vec{b})\)
(4)\(\vec{a}・\vec{a}=|\vec{a}|^2\)

【例題】次の問いに答えなさい

(1)等式\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)を証明しなさい。
(2)\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{13}\)のとき、\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0°\leqq\theta\leqq180°\)とする。
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