ベクトルの内積
【内積の定義】
\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角を\(\theta\)とするとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
【内積の成分】
\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のとき、
\(\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
【例題】次の内積を求めなさい。
(1)\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,\vec{a}\)と\(\vec{b}\)のなす角が\(60°\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60°\)
\(\displaystyle =3・4・\frac{1}{2}\)
\(=6\)
(2)\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,-2)\)
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=4・3+(-1)・(-2)\)
\(=14\)
ベクトルのなす角
【ベクトルのなす角】
\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)のなす角を\(\theta\)とすると、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\)
【ベクトルの垂直条件】
\(\vec{0}\)でない\(2\)つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)\)とすると、
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}・\vec{b}=0 \)
\(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0 \)
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(\vec{a}=(1,4),\vec{b}=(5,3)\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
\(\cos\theta\)
\(\displaystyle =\frac{1・5+4・3}{\sqrt{1^2+4^2}\sqrt{5^2+3^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{17}{\sqrt{17}\sqrt{34}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって、\(\theta=45°\)
(2)\(\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3+2x,-2+x)\)が垂直であるとき、\(x\)を求めなさい。
\(\vec{a}・\vec{b}\)
\(=4(3+2x)-1(-2+x)\)
\(=7x+14\)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)より、
\(7x+14=0\)
よって、\(x=-2\)
内積の性質
【内積の性質】
(1)\(\vec{a}・\vec{b}=\vec{b}・\vec{a}\)
(2)\(\vec{a}・(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}・\vec{b}+\vec{a}・\vec{c}\)
(3)\((k\vec{a})・\vec{b}=\vec{a}・(k\vec{b})=k(\vec{a}・\vec{b})\)
(4)\(\vec{a}・\vec{a}=|\vec{a}|^2\)
【例題】次の問いに答えなさい
(1)等式\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)を証明しなさい。
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+\vec{b})・(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}・(\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}・(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}・\vec{a}+\vec{a}・\vec{b}+\vec{b}・\vec{a}+\vec{b}・\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2+2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
(2)\(|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{13}\)のとき、\(\vec{a},\vec{b}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。ただし、\(0°\leqq\theta\leqq180°\)とする。
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2-2\vec{a}・\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=3^2-2\vec{a}・\vec{b}+4^2\)
\(=25-2\vec{a}・\vec{b}\)
\(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{13}\)より、
\(13=25-2\vec{a}・\vec{b}\)
\(\vec{a}・\vec{b}=6\)
よって、
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{6}{3・4}=\frac{1}{2}\)
\(\theta=60°\)