1.次の曲線を平行移動したときの方程式と焦点を求めなさい。
(1)楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\)を\(x\)軸方向に\(3\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動
楕円の方程式は
\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{4}+(y+2)^2=1\)
焦点は\((\sqrt{3}+3,-2),(-\sqrt{3}+3,-2)\)
(2)放物線\(y^2=4x\)を\(x\)軸方向に\(-1\)、\(y\)軸方向に\(2\)だけ平行移動
放物線の方程式は
\((y-2)^2=4(x+1)\)
焦点は\((0,2)\)
2.次の方程式はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(x^2+4y^2+6x-8y+9=0\)
\((x^2+6x+9)-9+4(y^2-2y+1)-4+9=0\)
\((x+3)^2+4(y-1)^2=4\)
\(\displaystyle \frac{(x+3)^2}{4}+(y-1)^2=1\)
よって、
楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\)を\(x\)軸方向に\(-3\)、\(y\)軸方向に\(1\)だけ平行移動した楕円
(2)\(y^2+8y-16x=0\)
\(y^2+8y+16=16x+16\)
\((y+4)^2=16(x+1)\)
よって、
放物線\(y^2=16x\)を\(x\)軸方向に\(-1\)、\(y\)軸方向に\(-4\)だけ平行移動した放物線
(3)\(4x^2-9y^2-16x-36y-56=0\)
\(4(x^2-4x+4)-16-9(y^2+4y+4)+36-56=0\)
\(4(x-2)^2-9(y+2)^2=36\)
\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
よって、
双曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)を\(x\)軸方向に\(2\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動した双曲線