1.\(\vec{a}=(3,-1),\vec{b}=(-4,2)\)のとき、次のベクトルを求めなさい。
(1)\(4\vec{a}-3\vec{b}\)
\(=4(3,-1)-3(-4,2)\)
\(=(12,-4)+(12,-6)\)
\(=(24,-10)\)
(2)\((2\vec{a}-3\vec{b})-(3\vec{a}+5\vec{b})\)
\(=-\vec{a}-8\vec{b}\)
\(=-(3,-1)-8(-4,2)\)
\(=(-3,1)+(32,-16)\)
\(=(29,-15)\)
2.\(\vec{a}=(2,-4),\vec{b}=(5,-3)\)のとき、\(-3\vec{a}+2\vec{b}\)を成分で表しなさい。また、その大きさを求めなさい。
\(-3\vec{a}+2\vec{b}\)
\(=-3(2,-4)+2(5,-3)\)
\(=(-6,12)+(10,-6)\)
\(=(4,6)\)
\(|-3\vec{a}+2\vec{b}|\)
\(=\sqrt{4^2+6^2}\)
\(=2\sqrt{13}\)
3.次の\(\vec{p}\)を\(s\vec{a}+t\vec{b}\)の形で表しなさい。
(1)\(\vec{p}=(8,-3),\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(-1,3)\)
\((8,-3)=s(2,1)+t(-1,3)\)
\((8,-3)=(2s-t,s+3t)\)
\(2s-t=8,s+3t=-3\)を解くと
\(s=3,t=-2\)
よって、
\(\vec{p}=3\vec{a}-2\vec{b}\)
(2)\(\vec{p}=(7,0),\vec{a}=(2,-4),\vec{b}=(5,-3)\)
\((7,0)=s(2,-4)+t(5,-3)\)
\((7,0)=(2s+5t,-4s-3t)\)
\(2s+5t=7,-4s-3t=0\)を解くと
\(\displaystyle s=-\frac{3}{2},t=2\)
よって、
\(\displaystyle \vec{p}=-\frac{3}{2}\vec{a}+2\vec{b}\)
4.次の\(A,B\)について\(\overrightarrow{AB}\)を成分表示し、\(|\overrightarrow{AB}|\)を求めなさい。
(1)\(A(5,2),B(1,6)\)
\(\overrightarrow{AB}=(1-5,6-2)=(-4,4)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}\)
(2)\(A(-3,4),B(2,0)\)
\(\overrightarrow{AB}=(2+3,0-4)=(5,-4)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41}\)
5.次の\(4\)点を頂点とする四角形\(ABCD\)が平行四辺形であるように\(x,y\)の値を求めなさい。
(1)\(A(1,1),B(4,2),C(5,4),D(x,y)\)
平行四辺形\(ABCD\)なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB}=(4-1,2-1)=(3,1)\)
\(\overrightarrow{DC}=(5-x,4-y)\)
\(3=5-x,1=4-y\)をとくと、
\(x=2,y=3\)
(2)\(A(2,-4),B(5,-3),C(2,1),D(x,y))\)
平行四辺形\(ABCD\)なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AB}=(5-2,-3+4)=(3,1)\)
\(\overrightarrow{DC}=(2-x,1-y)\)
\(3=2-x,1=1-y\)をとくと、
\(x=-1,y=0\)
6.次のベクトルが平行になるように\(t\)の値を求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(4,t),\vec{b}=(-2,-1)\)
\(\vec{a}=k\vec{b}\)より、
\((4,t)=k(-2,-1)\)
\(4=-2k,t=-k\)をとくと、
\(k=-2,t=2\)
よって、
\(t=2\)
(2)\(\vec{a}=(2,-4),\vec{b}=(5+t,-3-t)\)
\(\vec{b}=k\vec{a}\)より、
\((5+t,-3-t)=k(2,-4)\)
\(5+t=2k,-3-t=-4k\)をとくと、
\(k=-1,t=-7\)
よって、
\(t=-7\)