【線形代数】4-4-2 n次行列式の性質｜問題集
1.次の行列式の値を求めなさい。
(1)\(A=\begin{vmatrix}5 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 & 1 \\ 4 & 7 & 0 & 2\end{vmatrix}\)
\(=(-1)^5\cdot2\begin{vmatrix}5 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 7 & 2\end{vmatrix}\)
\(=-2\begin{vmatrix}5 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 0 \\ -6 & 3 & 0\end{vmatrix}\)
\(=-2\cdot(-1)^4\begin{vmatrix}-2 & 4 \\ -6 & 3\end{vmatrix}\)
\(=-2(-6+24)\)
\(=-36\)
\(=-2\begin{vmatrix}5 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 0 \\ -6 & 3 & 0\end{vmatrix}\)
\(=-2\cdot(-1)^4\begin{vmatrix}-2 & 4 \\ -6 & 3\end{vmatrix}\)
\(=-2(-6+24)\)
\(=-36\)
(2)\(A=\begin{vmatrix}0 & 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & -2 \\ -2 & 3 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1\end{vmatrix}\)
\(=(-1)^3\cdot1\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 3 & 5 & -4 \\ 2 & -9 & 7\end{vmatrix}\)
\(=-\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 0 & 11 & -13 \\ 0 & -5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=-1\begin{vmatrix}11 & -13 \\ -5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=-(11-65)\)
\(=54\)
\(=-\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 0 & 11 & -13 \\ 0 & -5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=-1\begin{vmatrix}11 & -13 \\ -5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=-(11-65)\)
\(=54\)
(3)\(A=\begin{vmatrix}2 & 8 & 4 & 1 \\ 7 & 6 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}1 & 6 & -1 & 0 \\ 6 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 5 & 1\end{vmatrix}\)
\(=(-1)^8\cdot1\begin{vmatrix}1 & 6 & -1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 4\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}1 & 6 & -1 \\ 0 & -32 & 8 \\ 0 & -8 & 6\end{vmatrix}\)
\(=1\begin{vmatrix}-32 & 8 \\ -8 & 6\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}0 & 8 \\ 16 & 6\end{vmatrix}\)
\(=-128\)
\(=(-1)^8\cdot1\begin{vmatrix}1 & 6 & -1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 4\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}1 & 6 & -1 \\ 0 & -32 & 8 \\ 0 & -8 & 6\end{vmatrix}\)
\(=1\begin{vmatrix}-32 & 8 \\ -8 & 6\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}0 & 8 \\ 16 & 6\end{vmatrix}\)
\(=-128\)
(4)\(A=\begin{vmatrix}a & b & a & b \\ b & a & b & a \\ -a & -b & a & b \\ -b & -a & b & a\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}a & b & a & b \\ b & a & b & a \\ 0 & 0 & 2a & 2b \\ 0 & 0 & 2b & 2a\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}a & b \\ b & a\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2a & 2b \\ 2b & 2a\end{vmatrix}\)
\(=(a^2-b^2)(4a^2-4b^2)\)
\(=4(a+b)^2(a-b)^2\)
\(=\begin{vmatrix}a & b \\ b & a\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2a & 2b \\ 2b & 2a\end{vmatrix}\)
\(=(a^2-b^2)(4a^2-4b^2)\)
\(=4(a+b)^2(a-b)^2\)
(5)\(A=\begin{vmatrix}1 & a & b & c+d \\ 1 & b & c & d+a \\ 1 & c & d & a+b \\ 1 & d & a & b+c\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}1 & a & b & a+b+c+d \\ 1 & b & c & a+b+c+d \\ 1 & c & d & a+b+c+d \\ 1 & d & a & a+b+c+d\end{vmatrix}\)
\(=(a+b+c+d)\begin{vmatrix}1 & a & b & 1 \\ 1 & b & c & 1 \\ 1 & c & d & 1 \\ 1 & d & a & 1\end{vmatrix}\)
第\(1\)列と第\(4\)列が同じなので、退化性より
\(=0\)
\(=(a+b+c+d)\begin{vmatrix}1 & a & b & 1 \\ 1 & b & c & 1 \\ 1 & c & d & 1 \\ 1 & d & a & 1\end{vmatrix}\)
第\(1\)列と第\(4\)列が同じなので、退化性より
\(=0\)
(6)\(A=\begin{vmatrix}a & -b & -c & d \\ b & a & -d & -c \\ a & -b & c & -d \\ b & a & d & c\end{vmatrix}\)
\(X=\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}c & -d \\ d & c\end{pmatrix}\)とおくと、
\(=\begin{vmatrix}X & -Y \\ X & Y\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}2X & O \\ X & Y\end{vmatrix}\)
\(=|2X|\cdot|Y|\)
\(=4(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
\(=\begin{vmatrix}X & -Y \\ X & Y\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}2X & O \\ X & Y\end{vmatrix}\)
\(=|2X|\cdot|Y|\)
\(=4(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
(7)\(A=\begin{vmatrix}x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 1 & 0 & x & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & 0 \\ 0 & -x & 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x & 3 & 1 & 1 \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x & 3 \\ 1 & x\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=(x^2-3)\cdot x^2\)
\(=x^2(x^2-3)\)
\(=\begin{vmatrix}x & 3 & 1 & 1 \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}x & 3 \\ 1 & x\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{vmatrix}\)
\(=(x^2-3)\cdot x^2\)
\(=x^2(x^2-3)\)
2.次の証明をしなさい。
\(A\)がn次正則行列ならば、その行列式の値について\(\det A\neq0\)であり、逆行列\(A^{-1}\)の行列式の値は\(\displaystyle \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\)となることを証明しなさい。
\(A\)は正則行列なので、逆行列\(A^{-1}\)が存在し、
\(AA^{-1}=E_n\)
両辺の行列式をとると、
\(\det(AA^{-1})=\det E_n=1\)
行列式の積の性質より
\(\det(AA^{-1})=\det A\cdot\det(A^{-1})=1\)
よって、
\(\det A\neq0\)であり、\(\displaystyle \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\)
\(AA^{-1}=E_n\)
両辺の行列式をとると、
\(\det(AA^{-1})=\det E_n=1\)
行列式の積の性質より
\(\det(AA^{-1})=\det A\cdot\det(A^{-1})=1\)
よって、
\(\det A\neq0\)であり、\(\displaystyle \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\)
3.\(A\)をn次正方行列で、その行列式の値が\(-2\)であるとする。このとき、次の行列の行列式の値を求めなさい。ただし、\(P\)はn次正則行列とする。
(1)\(P^{-1}AP\)
\(\det(P^{-1}AP)\)
\(=\det(P^{-1})\cdot\det A\cdot\det P\)
\(=\displaystyle \frac{1}{\det P}\cdot\det A\cdot\det P\)
\(=\det A\)
\(=-2\)
\(=\det(P^{-1})\cdot\det A\cdot\det P\)
\(=\displaystyle \frac{1}{\det P}\cdot\det A\cdot\det P\)
\(=\det A\)
\(=-2\)
(2)\(3A\)
\(\det(3A)\)
\(=3^n\det A\)
\(=-2\cdot3^n\)
\(=3^n\det A\)
\(=-2\cdot3^n\)
(3)\(A^TA\)
\(\det(A^TA)\)
\(=\det(A^T)\cdot\det A\)
\(=\det A\cdot\det A\)
\(=(\det A)^2\)
\(=4\)
\(=\det(A^T)\cdot\det A\)
\(=\det A\cdot\det A\)
\(=(\det A)^2\)
\(=4\)
次の学習に進もう！