【線形代数】4-4-2 n次行列式の性質｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数における「n次行列式の性質（積・転置・行基本変形・ブロック行列・サイズダウン・ヴァンデルモンドの行列式）」について解説します。計算手順が身につく具体的な例題と解答も合わせてまとめました。
n次行列式の性質
【積の行列式】
n次正方行列\(A\)と\(B\)の積\(AB\)の行列式に対して
\(\det(AB)=(\det A)(\det B)\)
が成り立つ。つまり、積の行列式の値は、行列式の値の積になる。
【転置行列の行列式】
n次正方行列\(A\)について
\(\det(A)=\det(A^T)\)
が成り立つ。つまり、転置をとっても行列式の値は変わらない。
【行基本変形と行列式の関係】
n次正方行列に対して、行基本変形と行列式について以下が成り立つ。
(1)ある行に別の行のスカラー倍を加えても行列式は変わらない。
(2)ある行を\(\alpha\)倍すると行列式も\(\alpha\)倍される。(\(\alpha\)がくくり出される)
(3)行を入れ替えると行列式は\(-1\)倍される。
特にスカラー倍で\(\alpha=0\)とすれば、全て成分が\(0\)である行があれば行列式の値は\(0\)となる。
【ブロック分けされた行列の行列式】
\(A\)をm次正方行列、\(B\)をn次正方行列、\(X\)を\(m\times n\)行列とする。このとき、ブロック分けされた(m+n)次正方行列の行列式について
\(\det\begin{pmatrix} A & X \\ O & B \end{pmatrix}=(\det A)(\det B)\)
が成り立つ。
【行列式のサイズダウン】
ある列が1つの成分を除いて0である行列式において
\(\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & 0 & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1} & a_{ij} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{in} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & 0 & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\)
\(=(-1)^{i+j}a_{ij}\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\)
が成り立つ。ここで、左辺はn次行列式、右辺は(n-1)次行列式である。ある行が\(1\)つの成分を除いて\(0\)である場合の行列式についても、これと同様の式が成り立つ。
【例題】\(A=\begin{pmatrix}0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2\end{pmatrix}\)
とおく。
\(\ \ \ =\begin{pmatrix}a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2\end{pmatrix}\)
\(\ \ \ =B\)
よって、
\(\det B=\det(A^2)=(\det A)^2=4a^2b^2c^2\)
ヴァンデルモンドの行列式
【ヴァンデルモンドの行列式】
nは\(2\)以上の自然数とする。次のn次行列式の値について
\(\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-2} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leqq j< i\leqq n}(x_i-x_j)\)
が成り立つ。ただし、右辺は\(1\leqq j< i\leqq n\)となる全ての\((i,j)\)の組について、\(x_i-x_j\)の積をとることを意味する。