【線形代数】4-5-1 余因子展開｜要点まとめ

このページでは、大学数学の線形代数における「余因子行列の定義」および「余因子展開を用いた行列式の計算方法」について解説します。理解を深めるための具体的な例題と解答もまとめています。

余因子行列

【余因子行列】
n次正方行列\(A=(a_{ij})\)に対して、\(A\)の第\(i\)行および第\(j\)列を取り除いて得られる(n-1)次正方行列を\(A_{ij}\)と表すことにする。このとき
\(\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})\)
を\(A\)の\((i,j)\)余因子とよび、
\(\tilde{A}=(\Delta_{ij})^T\)
を\(A\)の余因子行列という。

【例題】\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\)のとき、次の余因子を答えなさい。

(1)\(\Delta_{11}\)
(2)\(\Delta_{21}\)
(3)\(\Delta_{32}\)

余因子展開

【行列式の余因子展開】
n次正方行列\(A=(a_{ij})\)に対して
\(\displaystyle \det A=\sum_{i=1}^na_{ij}\Delta_{ij}=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})\)
が成り立つ。これを\(\det A\)の第\(j\)列に関する余因子展開という。また、
\(\displaystyle \det A=\sum_{j=1}^na_{ij}\Delta_{ij}=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})\)
が成り立つ。これを\(\det A\)の第\(i\)行に関する余因子展開という。

【例題】\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 8 & 9 & 4 \\ 7 & 6 & 5\end{pmatrix}\)のとき、次の余因子展開をしなさい。

(1)第1行で余因子展開
(2)第3列で余因子展開
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