【線形代数】4-5-2 行列式と正則行列｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「余因子行列を用いた逆行列の公式」と「行列が正則であるための必要十分条件（同値条件）」をわかりやすく解説します。具体的な例題と丁寧な解答付きで、要点を効率よく確認できます。
余因子行列と逆行列
【余因子行列】
\(\widetilde{A}\)を\(A\)の余因子行列とするとき
\(\widetilde{A}A=A\widetilde{A}=(\det A)E_n\)
が成り立つ。
【余因子行列を用いた逆行列の公式】
n次正方行列\(A\)が正則であるための必要十分条件は\(\det A\neq0\)となることである。さらに、\(A\)が正則であるとき、\(\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}\)であり
\(\displaystyle \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\widetilde{A}\)
が成り立つ。
【例題】次の逆行列を求めなさい。
\(\det A=\begin{vmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & -12 & 6 \\ 0 & 5 & 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -12 & 6 \\ 5 & 0\end{vmatrix}=-30\)
余因子は
\(\Delta_{11}=\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1\end{vmatrix}=-5\)
\(\Delta_{12}=-\begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=6\)
\(\Delta_{13}=\begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 1 & 3\end{vmatrix}=-13\)
\(\Delta_{21}=-\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1\end{vmatrix}=5\)
\(\Delta_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=0\)
\(\Delta_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3\end{vmatrix}=-5\)
\(\Delta_{31}=\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 1\end{vmatrix}=0\)
\(\Delta_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 1\end{vmatrix}=-6\)
\(\Delta_{33}=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -5 & -2\end{vmatrix}=-12\)
よって
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix}-5 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & -6 \\ -13 & -5 & -12\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{30}\begin{pmatrix}5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12\end{pmatrix}\)
行列式と正則行列
【正方行列の定理】
\(A\)をn次正方行列とする。
(1)\(AX=E_n\)となる行列\(X\)が存在するならば、\(A\)は正則で\(X=A^{-1}\)である。
(2)\(YA=E_n\)となる行列\(Y\)が存在するならば、\(A\)は正則で\(Y=A^{-1}\)である。
【行列が正則であるための必要十分条件】
n次正方行列\(A\)に対して、次の条件は全て同値である。
(1)\(A\)は正則(逆行列が存在する)
(2)\(\mathrm{rank} A=n\)
(3)\(A\)は行基本変形により単位行列\(E_n\)に変形できる。
(4)\(A\)は基本行列の積で表せる。
(5)\(\det A\neq0\)
(6)斉次連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)は自明な解\(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)しか持たない。