【線形代数】4-5-2 行列式と正則行列｜問題集

\(A\)は交代行列なので、\(A^T=-A\)を満たす。すなわち、任意の\(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3\)に対して、2つのベクトル\(A\mathbf{u}\)と\(\mathbf{u}\)の内積を考えると、
\((A\mathbf{u},\mathbf{u})\)
\(=(A\mathbf{u})^T\mathbf{u}\)
\(=\mathbf{u}^TA^T\mathbf{u}\)
\(=\mathbf{u}^T(-A)\mathbf{u}\)
\(=-\mathbf{u}^T(A\mathbf{u})\)
\(=-(\mathbf{u},A\mathbf{u})\)
\(=-(A\mathbf{u},\mathbf{u})\)
ゆえに、\((A\mathbf{u},\mathbf{u})=0\)が成り立つ。
任意の\(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3\)に対して
\(||(A+E_3)\mathbf{u}||^2=||A\mathbf{u}+\mathbf{u}||^2=||A\mathbf{u}||^2+||\mathbf{u}||^2\)
\(||(A-E_3)\mathbf{u}||^2=||A\mathbf{u}-\mathbf{u}||^2=||A\mathbf{u}||^2+||\mathbf{u}||^2\)
となるので、
\(||(A+E_3)\mathbf{u}||^2=||A\mathbf{u}||^2+||\mathbf{u}||^2\geqq||\mathbf{u}||^2\)
よって、与式は成り立つ。

\(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\)を斉次連立一次方程式\((A+E_3)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解とする。
\(||\mathbf{x}||\leqq||(A+E_3)\mathbf{x}||=||\mathbf{0}||=0\)
より、\(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)となる。\((A+E_3)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)は自明な解を持つので、\(A+E_3\)は正則である。\(A-E_3\)も同様に正則である。