1-1-1 分数関数(要点)

【分数関数\(\displaystyle y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)のグラフ】

\(\displaystyle y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)は\(x\)と\(y\)が反比例の関係にあり、直角双曲線と呼ばれる曲線である。

・\(k>0\)のとき ・\(k<0\)のとき ・関数\(\displaystyle y=\frac{k}{x}\)の定義域は\((x\neq0)\)、値域は\((y\neq0)\)
・グラフは原点に関して対称
・\(k>0\)のとき第\(1,3\)象限にあり、\(k<0\)のとき第\(2,4\)象限にある
・漸近線は\(x\)軸、\(y\)軸

【分数関数\(\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q(k\neq0)\)のグラフ】

・関数\(\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q\)のグラフは\(\displaystyle y=\frac{k}{x}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動したものである。
・関数\(\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q\)の定義域は\((x\neq p)\)、値域は\((y\neq q)\)
・漸近線は\(2\)直線\(x=p\)、\(y=q\)

【例題】次の関数のグラフを描きなさい。

(1)\(\displaystyle y=\frac{3}{x-2}+1\)

(2)\(\displaystyle y=\frac{2x}{x+3}\)

\(\displaystyle =\frac{2(x+3)-6}{x+3}\)
\(\displaystyle =-\frac{6}{x+3}+2\)

【例題】次の不等式を解きなさい。

\(\displaystyle \frac{4}{x-1}<3x-2\)

求める範囲は\(\displaystyle y=\frac{4}{x-1}\)のグラフが直線\(y=3x-2\)より下にある\(x\)の値の範囲なので、
\(\displaystyle -\frac{1}{3}< x< 1,2< x\)