【高校数学Ⅲ】2-1-3 無限級数｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅲの「無限級数」について整理しています。無限級数の基本的な考え方や収束・発散の判定方法、代表的な性質をわかりやすく解説します。数列の極限の応用として理解を深め、大学入試にも対応できる実践的な力を身につけましょう。

無限級数の収束と発散

【無限級数】
無限数列\(\{a_n\}\)の各項を順に加えていった式
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\)
を無限級数といい、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と書く。
無限級数の初項から第\(n\)項までの和を部分和という。部分和が作る数列\(\{S_n\}\)がある値\(S\)に収束\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=S\)するとき、無限級数は\(S\)に収束するといい、\(S\)を無限級数のに和という。また、数列\(\{S_n\}\)が発散するとき、無限級数は発散するという。

【無限等比級数】
無限等比数列\(\{ar^{n-1}\}\)から作られる無限級数
\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\)
を初項\(a\)、公比\(r\)の無限等比級数という。
(1)\(|r|<1\)のとき、収束して和は\(\displaystyle \frac{a}{1-r}\)である。
(2)\(|r|\geqq1\)のとき、発散する。

【例題】次の無限級数の収束、発散を調べなさい。

(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2})^{n-1}\)
(4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2・\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\)

【例題】次の循環小数を分数に直しなさい。

(1)\(3.\dot{1}\dot{4}\)
(2)\(2.\dot{8}\)

無限級数の性質

【無限級数の性質】
無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}=S,\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}=T\)に収束するとき、
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS\)
ただし、\(k\)は定数
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=S+T\)
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)=S-T\)

【例題】次の無限級数の収束、発散を調べなさい。

(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{2}{3^n}\right)\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\)
次の学習に進もう！
📝練習問題に挑戦！ 📱次の単元:関数の極限 📱前の単元:無限等比数列 📚高校数学Ⅲ 一覧ページに戻る