2-1-3 無限級数(要点)

【無限級数】

無限数列\(\{a_n\}\)の各項を順に加えていった式
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\)
を無限級数といい、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と書く。
無限級数の初項から第\(n\)項までの和を部分和という。
部分和が作る数列\(\{S_n\}\)がある値\(S\)に収束\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=S\)するとき、
無限級数は\(S\)に収束するといい、\(S\)を無限級数のに和という。
また、数列\(\{S_n\}\)が発散するとき、無限級数は発散するという。

【無限等比級数】

無限等比数列\(\{ar^{n-1}\}\)から作られる無限級数
\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\)
を初項\(a\)、公比\(r\)の無限等比級数という。
(1)\(|r|<1\)のとき、収束して和は\(\displaystyle \frac{a}{1-r}\)である。
(2)\(|r|\geqq1\)のとき、発散する。

【例題】次の無限級数の収束、発散を調べなさい。

(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=1\)
\(1\)に収束する。

(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-(n+1)}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1)\)
\(=\infty\)
発散する。

(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2})^{n-1}\)

\(=\infty\)
発散する。

(4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2・\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\)

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}-1・\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle =-\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle -\frac{2}{3}\)に収束する。

【例題】次の循環小数を分数に直しなさい。

(1)\(3.\dot{1}\dot{4}\)

\(0.\dot{1}\dot{4}\)は初項:\(0.14\)、公比:\(0.01\)の無限等比級数なので、
\(3.\dot{1}\dot{4}\)
\(\displaystyle =3+\frac{0.14}{1-0.01}\)
\(\displaystyle =3+\frac{14}{100-1}\)
\(\displaystyle =\frac{311}{99}\)

(2)\(2.\dot{8}\)

\(0.\dot{8}\)は初項:\(0.8\)、公比:\(0.1\)の無限等比級数なので、
\(2.\dot{8}\)
\(\displaystyle =2+\frac{0.8}{1-0.1}\)
\(\displaystyle =2+\frac{8}{10-1}\)
\(\displaystyle =\frac{26}{9}\)

【無限級数の性質】

無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}=S,\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}=T\)に収束するとき、
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS\)
ただし、\(k\)は定数
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=S+T,\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)=S-T\)

【例題】次の無限級数の収束、発散を調べなさい。

(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{2}{3^n}\right)\)

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(0\)に収束する。

(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\)

発散する。