【高校数学Ⅲ】3-1-4 三角関数の導関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「三角関数の導関数」について整理しています。sin, cos, tan の導関数の導出方法や微分公式、合成関数への応用などをわかりやすく解説します。公式を理解することで、さまざまな関数の微分計算をスムーズに行えるようになり、大学入試にも対応できる実践力を身につけましょう。
三角関数の導関数とは？
【三角関数の導関数】
(1)\((\sin x)'=\cos x\)
(2)\((\cos x)'=-\sin x\)
(3)\(\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
(1)\(y=\sin2x\)
\(y'=\cos2x・(2x)'\)
\(=2\cos2x\)
\(=2\cos2x\)
(2)\(\displaystyle y=\frac{x}{\tan x}\)
\(\displaystyle y'=\frac{(x)'\tan x-x(\tan x)'}{\tan^2x}\)
\(\displaystyle =\frac{\tan x-x・\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2x}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sin x\cos x-x}{\sin^2x}\)
\(\displaystyle =\frac{\tan x-x・\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2x}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sin x\cos x-x}{\sin^2x}\)
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