1.次の曲線の接線方程式を求めなさい。
(1)\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\)上の点\((-1,-4)\)
\(\displaystyle y'=-\frac{4}{x^2}\)
接線方程式は
\(y+4=-4(x+1)\)
\(y=-4x-8\)
(2)\(y=\tan x\)上の点\((0,0)\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2x}\)
接線方程式は
\(y-0=1(x-0)\)
\(y=x\)
2.次の曲線の法線方程式を求めなさい。
(1)\(\displaystyle y=\frac{2}{x}\)上の点\((1,2)\)
\(\displaystyle y'=-\frac{2}{x^2}\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-2=\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)
(2)\(\displaystyle y=\sin x\)上の点\(\displaystyle \left(\frac{\pi}{6},\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle y'=\cos x\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\displaystyle y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\)
3.\(y=e^x\)について、次の接線方程式を求めなさい。
(1)傾きが\(1\)である。
接線の接点を\((a,e^a)\)とする。
\(y'=e^x\)より、接線の傾きは\(e^a=1\)
\(a=0\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-1=1(x-0)\)
\(\displaystyle y=x+1\)
(2)点\((1,0)\)を通る。
接線の接点を\((a,e^a)\)とする。
\(y'=e^x\)より、接線の傾きは\(e^a\)
接線方程式は
\(y-e^a=e^a(x-a)\)
\((1,0)\)を通るので、
\(0-e^a=e^a(1-a)\)
\((2-a)e^a=0\)
\(a=2\)
よって、求める接線方程式は
\(y-e^2=e^2(x-2)\)
\(y=e^2x-e^2\)
4.次の曲線の接線方程式を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1\)上の点\((-1,2)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle x+\frac{y}{4}・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{4・(-1)}{2}=2\)
接線方程式は
\(y-2=2(x+1)\)
\(y=2x+4\)
(2)\(x^2-y^2=1\)上の点\((\sqrt{2},-1)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}\)
接線方程式は
\(y+1=-\sqrt{2}(x-\sqrt{2})\)
\(y=-\sqrt{2}x+1\)
(3)\(y^2=4x\)上の点\((1,2)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2y・\frac{dy}{dx}=4\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle \frac{2}{2}=1\)
接線方程式は
\(y-2=1(x-1)\)
\(y=x+1\)
(4)媒介変数\(θ\)による\(x=4\cosθ,y=2\sinθ\)上の点\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3}\)における接点は\((2,\sqrt{3})\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=-4\sinθ,\frac{dy}{dt}=2\cosθ\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2\cosθ}{-4\sinθ}=-\frac{1}{2\tanθ}=-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{6}(x-2)\)
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
5.曲線\(y=ax^2+b,y=log x\)が点\((e,1)\)で共有し共通接線を持つように\(a,b\)の値を求めなさい。
\(y=ax^2+b\)は点\((e,1)\)を通るので、
\(1=ae^2+b\)
\(b=1-ae^2\)
\(y=ax^2+1-ae^2\)
\(y'=2ax\)
\(y=\log x\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)
点\((e,1)\)で共通接線であり、傾きは等しいので、
\(\displaystyle 2ae=\frac{1}{e}\)
\(\displaystyle a=\frac{1}{2e^2}\)
\(\displaystyle b=\frac{1}{2}\)