【高校数学Ⅲ】4-1-1 接線と法線｜問題集

\(\displaystyle y'=-\frac{4}{x^2}\)
接線方程式は
\(y+4=-4(x+1)\)
\(y=-4x-8\)

\(\displaystyle y'=\frac{1}{\cos^2x}\)
接線方程式は
\(y-0=1(x-0)\)
\(y=x\)

\(\displaystyle y'=-\frac{2}{x^2}\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-2=\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle y'=\cos x\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\displaystyle y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\)

接線の接点を\((a,e^a)\)とする。
\(y'=e^x\)より、接線の傾きは\(e^a=1\)
\(a=0\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-1=1(x-0)\)
\(\displaystyle y=x+1\)

接線の接点を\((a,e^a)\)とする。
\(y'=e^x\)より、接線の傾きは\(e^a\)
接線方程式は
\(y-e^a=e^a(x-a)\)
\((1,0)\)を通るので、
\(0-e^a=e^a(1-a)\)
\((2-a)e^a=0\)
\(a=2\)
よって、求める接線方程式は
\(y-e^2=e^2(x-2)\)
\(y=e^2x-e^2\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle x+\frac{y}{4}・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{4・(-1)}{2}=2\)
接線方程式は
\(y-2=2(x+1)\)
\(y=2x+4\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}\)
接線方程式は
\(y+1=-\sqrt{2}(x-\sqrt{2})\)
\(y=-\sqrt{2}x+1\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2y・\frac{dy}{dx}=4\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle \frac{2}{2}=1\)
接線方程式は
\(y-2=1(x-1)\)
\(y=x+1\)

\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3}\)における接点は\((2,\sqrt{3})\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=-4\sinθ,\frac{dy}{dt}=2\cosθ\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2\cosθ}{-4\sinθ}=-\frac{1}{2\tanθ}=-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{6}(x-2)\)
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(y=ax^2+b\)は点\((e,1)\)を通るので、
\(1=ae^2+b\)
\(b=1-ae^2\)

\(y=ax^2+1-ae^2\)
\(y'=2ax\)
\(y=\log x\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)
点\((e,1)\)で共通接線であり、傾きは等しいので、
\(\displaystyle 2ae=\frac{1}{e}\)
\(\displaystyle a=\frac{1}{2e^2}\)
\(\displaystyle b=\frac{1}{2}\)