三角関数の極限で重要な公式は何ですか？

最も重要なのは lim_x→0 (sinx / x) = 1 です。これを基にして、lim_x→0 ((1 - cosx) / x^2) = 1/2 や、角度の置換による応用問題が多数出題されます。

指数・対数・三角関数を組み合わせた極限はどう解くの？

それぞれの関数の性質をうまく組み合わせて解きます。たとえば lim_x→0 ((1 + x)^{1/x}) = e や lim_x→0 ((sinx)/x)^{1/x^2} などでは、指数関数・対数関数の変形を組み合わせて計算します。

①式の形を見てどの関数の極限かを判断する、②0/0や∞/∞などの不定形を見つけて変形を試みる、③指数・対数・三角関数の代表的な極限公式に当てはめる、という3ステップで整理して考えるのが効果的です。

1.次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^x\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^x\)

(3)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}2^{-3x}\)

(4)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2^{-2x}\)

(5)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3^x+4^x}{5^x-2}\)

(6)\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}\)

(7)\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{0.5}x\)

(8)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{2}\frac{4x-1}{x+2}\)

(9)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\cos{\frac{1}{x}}\)

(10)\(\displaystyle \lim_{x\to-\frac{3\pi}{2}+0}\tan x\)

(11)\(\displaystyle \lim_{x\to\pi}\tan x\)

(12)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x}\)

(13)\(\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)

(14)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)

(15)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{3x}\)

(16)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\)

(17)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}\)

(18)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\sin5x}\)

(19)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)

(20)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{\cos x-1}\)

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