1.\(xy\)平面に曲線\(\displaystyle y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)があり、この曲線上の点\(P(x,\cos x)\)から\(x\)軸に垂線\(PQ\)を引く。ここで、線分\(PQ\)を\(1\)辺とする正三角形\(PQR\)となるように\(z\)座標が正となる点\(R\)を\(x\)軸に垂直な平面上にとる。点\(Q\)が\(x\)軸上を点\(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},0\right)\)から点\(\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},0\right)\)まで動くとき、この正三角形が通過してできる立体の体積\(V\)を求めなさい。
正三角形\(PQR\)の面積を\(S(x)\)とすると、
\(\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}\cos x・\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^2x\)
よって、求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} S(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{3}}{4}\cos^2x\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos2x}{2}dx\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[x+\frac{1}{2}\sin2x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{8}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{8}\pi\)
2.四角錐の頂点を原点\(O\)とし、頂点から底面に下ろした垂線を\(x\)軸にとる。\(0\leqq x\leqq4\)として、\(x\)軸上で座標が\(x\)である点を通り、\(x\)軸に垂直な平面でこの立体をきったときの断面積を\(S(x)\)とする。\(1\)辺の長さが\(5\)の正方形を底面とする高さ\(4\)の四角錐の体積\(V\)を求めなさい。
断面の高さを\(x\)とすると、
断面:底面\(=x:4\)
断面積:底面積面\(=x^2:4^2\)
断面積\(S(x)\)は
\(\displaystyle S(x)=\frac{25x^2}{16}\)
よって、求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\int_0^4 S(x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{25}{16}\int_0^4 x^2dx\)
\(\displaystyle =\frac{25}{48}[x^3]_0^4\)
\(\displaystyle =\frac{25}{48}・4^3\)
\(\displaystyle =\frac{100}{3}\)
3.底面の半径\(a\)の直円柱を底面の直径を含み底面と\(60^{\circ}\)の角をなす平面で切断する。底面の直径\(AB\)を\(x\)軸に中心を原点\(O\)にとる。座標が\(x(-a\leqq x\leqq a)\)である点を通り、\(x\)軸に垂直な平面で立体を切ったときの断面積を\(S(x)\)とする。このとき、底面とこの平面で挟まれた部分の体積\(V\)を求めなさい。
直円柱の高さを\(h\)とすると、
\(h=\sqrt{3}\sqrt{a^2-x^2}\)
断面積\(S(x)\)は
\(\displaystyle S(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a^2-x^2}\)
よって、求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\int_{-a}^a S(x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-a}^a (a^2-x^2)dx\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\left[ax^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{-a}^a\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a^3-\frac{1}{3}a^3+a^3-\frac{1}{3}a^3\right)\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}a^3\)
4.次の図形を\(x\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体の体積\(V\)を求めなさい。
(1)曲線\(y=2-e^x\)と\(x\)軸、\(y\)軸で囲まれた図形
\(y=2-e^x\)と\(x\)軸との交点は
\(\displaystyle 2-e^x=0\)
\(e^x=2\)
\(x=\log2\)
求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_0^{\log2} y^2dx\)
\(\displaystyle =\pi\int_0^{\log2} (2-e^x)^2dx\)
\(\displaystyle =\pi\int_0^{\log2} (4-4e^x+e^{2x})dx\)
\(\displaystyle =\pi\left[4x-4e^x+\frac{1}{2}e^{2\log2}\right]_0^{\log2}\)
\(\displaystyle =\pi\left(4\log2-4・2+\frac{1}{2}・2^2+\frac{7}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\left(4\log2-\frac{5}{2}\right)\pi\)
(2)楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)で囲まれた図形
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)より、\(\displaystyle y^2=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\)
求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_{-a}^a y^2dx\)
\(\displaystyle =\frac{\pi b^2}{a^2}\int_{-a}^a (a^2-x^2)dx\)
\(\displaystyle =\frac{\pi b^2}{a^2}・\frac{4}{3}a^3\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}ab^2\pi\)
(3)\(y=4x-x^2\)と\(y=x\)で囲まれた図形
\(y=4x-x^2\)と\(y=x\)との交点は
\(4x-x^2=x\)
\(x^2-3x=0\)
\(x(x-3)=0\)
\(x=0,3\)
\(0\leqq x\leqq3\)のとき、\(4x-x^2\geqq x\)
よって、求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_0^3 (4x-x^2)^2dx-\pi\int_0^3 x^2dx\)
\(\displaystyle =\pi\int_0^3 (15x^2-8x^3+x^4)dx\)
\(\displaystyle =\pi\left[5x^3-2x^4+\frac{1}{5}x^5\right]_0^3\)
\(\displaystyle =\frac{108}{5}\pi\)
(4)\(y=\sqrt{x}\)と\(y=x\)で囲まれた図形
\(y=\sqrt{x}\)と\(y=x\)との交点は
\(\sqrt{x}=x\)
\(x^2-x=0\)
\(x(x-1)=0\)
\(x=0,1\)
\(0\leqq x\leqq1\)のとき、\(\sqrt{x}\geqq x\)
よって、求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2dx-\pi\int_0^1 x^2dx\)
\(\displaystyle =\pi\int_0^1 (x-x^2)dx\)
\(\displaystyle =\pi\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}\pi\)
5.次の図形を\(y\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体の体積\(V\)を求めなさい。
(1)\(y=4-x^2\)と\(y=1\)で囲まれた図形
求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_1^4 x^2dy\)
\(\displaystyle =\pi\int_1^4 (4-y)dy\)
\(\displaystyle =\pi\left[4y-\frac{1}{2}y^2\right]_1^4\)
\(\displaystyle =\pi\left(16-8-4+\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{9}{2}\pi\)
(2)\(y=1-\sqrt{x}\)と\(x\)軸で囲まれた図形
\(y=1-\sqrt{x}\)より、\(x^2=(1-y)^4\)
求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_0^1 x^2dy\)
\(\displaystyle =\pi\int_0^1 (1-y)^4dy\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{5}\pi[(1-y)^5]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\pi\)
6.アステロイド\(x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta(0\leqq\theta\leqq2\pi)\)で囲まれた図形が\(x\)軸のまわりに\(1\)回転してできる回転体の体積\(V\)を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=3\cos^2\theta-\sin\theta\)
\(dx=-3\sin\theta\cos^2\theta d\theta\)
求める体積\(V\)は
\(\displaystyle V=2\pi\int_0^1 y^2dx\)
\(\displaystyle =6\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7\theta\cos^2\theta d\theta\)
\(\displaystyle =6\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7\theta(1-\sin^2\theta) d\theta\)
\(\displaystyle =6\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^7\theta-\sin^9\theta) d\theta\)
\(\displaystyle =6\pi\left(\frac{6・4・2}{7・5・3}-\frac{8・6・4・2}{9・7・5・3}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{48}{105}\pi\)