【高校数学Ⅲ】3-1-7 曲線方程式の微分法｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「曲線方程式の微分法」について整理しています。陰関数や媒介変数表示の導関数の考え方と計算方法をわかりやすく解説し、曲線の接線や傾きの求め方、グラフとの関係の理解を深めます。大学入試レベルの応用問題にも対応できる力を身につけましょう。
陰関数の導関数の定義と求め方
【陰関数の導関数】
\(y=f(x)\)の形で表された関数を陽関数といい、\(F(x,y)=0\)の形で表された関数を陰関数という。
\(y\)を\(x\)で微分するとき、\(y\)は\(x\)の関数とみなして微分する。
\(\displaystyle \frac{d}{dx}f(y)=\frac{d}{dy}f(y)・\frac{dy}{dx}\)
【例題】次の方程式で定められる\(x\)の関数\(y\)の導関数\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{d}{dx}y^2=2\)
\(\displaystyle 2y・\frac{dy}{dx}=2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\)
\(\displaystyle \frac{x}{8}+\frac{d}{dx}・\frac{y^2}{9}=0\)
\(\displaystyle \frac{x}{8}+\frac{2}{9}y・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{9x}{16y}\)
\(\displaystyle y+x\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)
媒介変数表示の導関数の計算例と応用
【媒介変数表示の導関数】
\(x,y\)が\(t\)を用いて\(x=f(t),y=g(t)\)で表されるとき、これを媒介変数表示といい、\(t\)を媒介変数という。
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\)
【例題】\(x,y\)が媒介変数\(t\)を用いて表されるとき、\(x\)の関数\(y\)の導関数\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を\(t\)を用いて求めなさい。
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2t}{1}=2t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=4\cos4t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4\cos4t}{3\cos3t}\)