【高校数学Ⅲ】1-1-3 逆関数｜問題集

\(x\)について解くと
\(x=-3y+3\)
よって、逆関数は
\(y=-3x+3\)

関数の値域は\(-3\leqq y\leqq 5\)
\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}(-3\leqq x\leqq 5)\)

\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=\frac{y-2}{y-9}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{x-2}{x-9}\)

関数の値域は\(y\geqq 0\)
\(x\)について解くと
\(x=1\pm\sqrt{y}\)
\(x\geqq 1\)より、\(x=1+\sqrt{y}\)
よって、逆関数は
\(y=\sqrt{x}+1\)

\(x\)について解くと
\(x=\log_{\frac{1}{2}}y=-\log_{2}y\)
よって、逆関数は
\(y=-\log_{2}x\)

\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=\left(\frac{1}{3}\right)^y\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)

\(f(2)=4\)より、\(2a+b=4\)
\(f^{-1}(1)=-4\)より、\(\displaystyle\frac{1-b}{a}=-4\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=\frac{1}{2},b=3\)

逆関数を求めると、\(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1-ax}{x-2}\)
\(f(x)=f^{-1}(x)\)より、\(\displaystyle \frac{2x+1}{x+a}=\frac{1-ax}{x-2}\)
これを解くと、
\(a=-2\)