【高校数学Ⅲ】4-1-2 平均値の定理｜問題集

\(f(x)=\log x\)とおくと、\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
\([x,x^2]\)で平均値の定理より、
\(\displaystyle \frac{\log x^2-\log x}{x^2-x}=\frac{1}{c}\)
\(\displaystyle \frac{2\log x-\log x}{x^2-x}=\frac{1}{c}\)
\(\displaystyle \frac{x^2-x}{\log x}=c\)
よって、
\(\displaystyle x< \frac{x^2-x}{\log x}< x^2\)
\(x=1\)のとき、\(\log x>0\)なので、
\(x\log x< x^2-x< x^2\log x\)

\(f(x)=\log x\)とおくと、\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
\([1,x+1]\)で平均値の定理より、
\(\displaystyle \frac{\log(x+1)-\log1}{(x+1)-1}=\frac{1}{c}\)
\(\displaystyle \frac{\log(x+1)}{x}=\frac{1}{c}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{x+1}< \frac{\log(x+1)}{x}< 1\)
\(x>0\)なので、
\(\displaystyle \frac{x}{x+1}< \log(x+1)< x\)

\(f(x)=e^x\)とおくと、\(\displaystyle f'(x)=e^x\)
\([a,b]\)で平均値の定理より、
\(\displaystyle \frac{e^b-e^a}{b-a}=e^c\)
\(\displaystyle e^a< e^c< e^b\)
よって、
\(\displaystyle e^a<\frac{e^b-e^a}{b-a}< e^b\)