1.\(x>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
(1)\(\log(x+1)\leqq\sqrt{x}\)
\(f(x)=\log(x+1)-\sqrt{x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =-\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2\sqrt{x}(x+1)}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\log2-1\) | \(\searrow\) |
\(x=0\)のとき、最大値\(0\)をとるので\(f(x)\leqq0\)
よって、
\(x>0\)のとき、\(\log(x+1)\leqq\sqrt{x}\)
\(x=0\)のとき、等号が成り立つ。
(2)\(\displaystyle e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2\)
\(\displaystyle f(x)=e^x-\left(1+x+\frac{1}{2}x^2\right)\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=e^x-1-x\)
\(\displaystyle f''(x)=e^x-1\)
\(f(x)\)は単調増加で\(x=0\)のとき、最小値\(0\)をとるので\(f(x)\geqq0\)
よって、
\(x>0\)のとき、\(\displaystyle e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2\)
2.\(a\)が定数のとき、次の方程式の異なる実数解の個数を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^3}{x-1}=a\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x-1}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle \frac{27}{4}\) | \(\nearrow\) |
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}f(x)=\infty,\lim_{x\to1-0}f(x)=-\infty\)より、
\(x=1\)は漸近線である。
このグラフと\(y=a\)との共有点の個数が求める実数解の個数なので、
\(\displaystyle a<\frac{27}{4}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle a=\frac{27}{4}\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle a>\frac{27}{4}\)のとき、\(3\)個
(2)\(xe^x-a=0\)
\(f(x)=xe^x\)とおくと、
\(f'(x)=e^x+xe^x\)
\(=e^x(1+x)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{e}\) | \(\nearrow\) |
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}y=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
このグラフと\(y=a\)との共有点の個数が求める実数解の個数なので、
\(\displaystyle a<-\frac{1}{e}\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle a=-\frac{1}{e}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle -\frac{1}{e}< a< 0\)のとき、\(2\)個
\(a\geqq a\)のとき、\(1\)個
3.\(x\)の関数\(y\)が\(\theta\)を媒介変数として\(x=2\cos\theta-\cos2\theta,y=2\sin\theta-\sin2\theta\)で表されるとき、\(0\leqq\theta\leqq\pi\)における最大値、最小値を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta+2\sin2\theta\)
\(=-2\sin\theta+4\sin\theta\cos\theta\)
\(=-2\sin\theta(1-2\cos\theta)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=2\cos\theta-2\cos2\theta\)
\(=2\cos\theta-2(2\cos^2\theta-1\)
\(=-2(\cos\theta-1)(2\cos\theta+1)\)
増減表にまとめると、
| \(\theta\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) | \(\cdots\) | \(\pi\) |
| \(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) | \(\searrow\) | \(-3\) |
| \(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
したがって、
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(x=0,\pi\)のとき、最小値\(0\)