1.次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n\)
\(=0\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{3}\right)^n\)
\(=\infty\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{5^n-2^n}{5^n+2^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1-(\frac{2}{5})^n}{1+(\frac{2}{5})^n}\)
\(=1\)
(4)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4^n-2^n}{3^n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac{4}{3}\right)^n-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}\)
\(=\infty\)
(5)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{3^n-2^n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2}{(\frac{3}{2})^n-1}\)
\(=0\)
(6)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(5^n-4^n)\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}5^n\left\{1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\right\}\)
\(=\infty\)
2.数列\(\displaystyle \left\{\frac{1-r^n}{1+r^n}\right\}\)の極限を次の場合について求めなさい。
(1)\(r>1\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1-r^n}{1+r^n}\right\}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(\frac{1}{r})^n-1}{(\frac{1}{r})^n+1}\)
\(\displaystyle =-1\)
(2)\(r=1\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1-r^n}{1+r^n}\right\}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1-1}{1+1}\)
\(\displaystyle =0\)
(3)\(|r|<1\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1-r^n}{1+r^n}\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1-0}{1+0}\)
\(\displaystyle =1\)
(4)\(r<-1\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{1-r^n}{1+r^n}\right\}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(\frac{1}{r})^n-1}{(\frac{1}{r})^n+1}\)
\(\displaystyle =-1\)
3.数列\(\{(x^2+2x)^n)\}\)が収束するような\(x\)の値を求めなさい。また、そのときの極限値を求めなさい。
極限値が\(1\)のとき、\(x^2+2x=1\)なので、
\(x^2+2x-1=0\)
\(x=-1\pm\sqrt{2}\)
極限値が\(0\)のとき、\(|x^2+2x|<1\)なので、
\(-1< x^2+2x< 1\)
これを解くと、
\(-1-\sqrt{2}< x< -1,-1< x< -1+\sqrt{2}\)
4.次のように定義される数列\(\{a_n\}(n=1,2,3,\cdots)\)の極限値を求めなさい。
\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=-\frac{1}{3}a_n+1\)
この漸化式を変形すると、
\(\displaystyle a_{n+1}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}\left(a_n-\frac{3}{4}\right)\)
初項:\(\displaystyle \frac{1}{4}\)、公比:\(\displaystyle -\frac{1}{3}\)の等比数列なので、
\(\displaystyle a_n-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}+\frac{3}{4}\)
よって、極限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\)は、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{4}\)