【高校数学Ⅲ】5-2-3 定積分と導関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「定積分と導関数」について整理しています。定積分の基本定理を中心に、導関数との関係、定積分を使った計算の考え方、グラフの面積とのつながりをわかりやすく解説します。微分と積分の関係を理解し、数学Ⅲの基礎力をしっかり身につけましょう。
定積分と導関数の関係
【定積分と導関数】
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
(1)\(\displaystyle f(x)=\int_1^x t^3e^{t^2}dt\)
\(f'(x)=x^3e^{x^2}\)
(2)\(\displaystyle f(x)=\int_0^x (x-t)e^tdt\)
\(\displaystyle =\int_0^x (xe^t-te^t)dt\)
\(\displaystyle f'(x)=\left(\int_0^x xe^tdt\right)'-xe^x\)
\(\displaystyle =\int_0^x e^tdt+x\left(\int_0^x e^tdt\right)'-xe^x\)
\(=e^x-e^0+xe^x-xe^x\)
\(=e^x-1\)
\(\displaystyle f'(x)=\left(\int_0^x xe^tdt\right)'-xe^x\)
\(\displaystyle =\int_0^x e^tdt+x\left(\int_0^x e^tdt\right)'-xe^x\)
\(=e^x-e^0+xe^x-xe^x\)
\(=e^x-1\)
【例題】次の等式を満たす関数\(f(x)\)を求めなさい。
\(\displaystyle f(x)=\cos x+\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t)\sin tdt\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t)\sin tdt\)とおくと、
\(f(x)=\cos x+a\)
\(f(t)=\cos t+a\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos t+a)\sin tdt\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos t\sin tdt+a\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin tdt\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}\sin2tdt+a[-\cos t]_0^{\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle a=-\frac{1}{4}[\cos2t]_0^{\frac{\pi}{3}}+\frac{1}{2}a\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}a=\frac{3}{8}\)
\(\displaystyle a=\frac{3}{4}\)
よって、
\(\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{3}{4}\)
\(f(x)=\cos x+a\)
\(f(t)=\cos t+a\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos t+a)\sin tdt\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos t\sin tdt+a\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin tdt\)
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}\sin2tdt+a[-\cos t]_0^{\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle a=-\frac{1}{4}[\cos2t]_0^{\frac{\pi}{3}}+\frac{1}{2}a\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}a=\frac{3}{8}\)
\(\displaystyle a=\frac{3}{4}\)
よって、
\(\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{3}{4}\)
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