【高校数学Ⅲ】4-1-1 接線と法線｜要点まとめ

\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)
接線方程式は
\(y-0=1(x-1)\)
\(y=x-1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{1}(x-1)\)
\(y=-x+1\)

\(\displaystyle y'=2^x\log2\)
接線方程式は
\(y-1=\log2(x-0)\)
\(y=(\log2)x+1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-1=-\frac{1}{\log2}(x-0)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{\log2}x+1\)

原点から\(y=\log x\)に引いた接線の接点を\((a,\log a)\)とする。
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)より、接線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{a}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-\log a=\frac{1}{a}(x-a)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{a}x+\log a-1\)
原点\((0,0)\)を通るので、
\(\displaystyle 0=\frac{1}{a}・0+\log a-1\)
\(a=e\)
よって、求める接線方程式は
\(\displaystyle y=\frac{1}{e}x\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{8}・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{4・\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}\)
接線方程式は
\(y-2=-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)
\(y=-2\sqrt{3}x+8\)

\(t=-1\)における接点は\((1,-2)\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=1\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2t}=-\frac{1}{2}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y+2=-\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)