【高校数学Ⅲ】4-1-1 接線と法線｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「接線と法線」について整理しています。曲線上の接線と法線の定義、傾きの求め方、計算手順をわかりやすく解説し、グラフの理解や応用問題への対応力を身につけます。
接線・法線の定義と求め方
【接線と法線】
曲線\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)を通り、点\(A\)における接線と垂直に交わる直線を法線という。
法線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}\)である。
【接線方程式と法線方程式】
曲線\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)における接線方程式は
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
曲線\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)における法線方程式は
\(\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)
ただし、\(f'(a)=0\)のとき、接線は\(y=f(a)\)、法線は\(x=a\)となる。
【例題】次の曲線の接線と法線の方程式を求めなさい。
(1)\(y=\log x\)上の点\((1,0)\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)
接線方程式は
\(y-0=1(x-1)\)
\(y=x-1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{1}(x-1)\)
\(y=-x+1\)
接線方程式は
\(y-0=1(x-1)\)
\(y=x-1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{1}(x-1)\)
\(y=-x+1\)
(2)\(y=2^x\)上の点\((0,1)\)
\(\displaystyle y'=2^x\log2\)
接線方程式は
\(y-1=\log2(x-0)\)
\(y=(\log2)x+1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-1=-\frac{1}{\log2}(x-0)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{\log2}x+1\)
接線方程式は
\(y-1=\log2(x-0)\)
\(y=(\log2)x+1\)
法線方程式は
\(\displaystyle y-1=-\frac{1}{\log2}(x-0)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{\log2}x+1\)
【例題】次の曲線の接線方程式を求めなさい。
(1)原点から\(y=\log x\)に引いた接線
原点から\(y=\log x\)に引いた接線の接点を\((a,\log a)\)とする。
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)より、接線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{a}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-\log a=\frac{1}{a}(x-a)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{a}x+\log a-1\)
原点\((0,0)\)を通るので、
\(\displaystyle 0=\frac{1}{a}・0+\log a-1\)
\(a=e\)
よって、求める接線方程式は
\(\displaystyle y=\frac{1}{e}x\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\)より、接線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{a}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y-\log a=\frac{1}{a}(x-a)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{a}x+\log a-1\)
原点\((0,0)\)を通るので、
\(\displaystyle 0=\frac{1}{a}・0+\log a-1\)
\(a=e\)
よって、求める接線方程式は
\(\displaystyle y=\frac{1}{e}x\)
(2)\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)上の点\((\sqrt{3},2)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{8}・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{4・\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}\)
接線方程式は
\(y-2=-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)
\(y=-2\sqrt{3}x+8\)
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{8}・\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y}\)
接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{4・\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}\)
接線方程式は
\(y-2=-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\)
\(y=-2\sqrt{3}x+8\)
(3)媒介変数\(t\)による\(x=t^2,y=t-1\)上の点\(t=-1\)
\(t=-1\)における接点は\((1,-2)\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=1\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2t}=-\frac{1}{2}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y+2=-\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=1\)より、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2t}=-\frac{1}{2}\)
接線方程式は
\(\displaystyle y+2=-\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)
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