【高校数学Ⅲ】2-2-1 関数の極限｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「関数の極限」について整理しています。関数の極限の基本的な考え方や極限値の性質、片側極限の求め方をわかりやすく解説します。例題を通じて理解を深め、大学入試でも対応できる実践的な力を身につけましょう。
関数の極限とは
【関数の極限】
関数\(f(x)\)において、\(x\)が\(a\)以外の値をとりながら\(a\)に限りなく近づくことを、\(x\to a\)のとき関数\(f(x)\)は\(\alpha\)に収束するといい、\(\alpha\)を関数\(f(x)\)の極限値という。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to\alpha\)
で表す。
\(x\to a\)のとき\(f(x)\)が限りなく大きくなる場合、正の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to\infty\)
で表す。
\(x\to a\)のとき\(f(x)\)が限りなく小さくなる場合、負の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to-\infty\)
で表す。
極限値の性質
【関数の極限値の性質】
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
(1)\(\displaystyle \lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha\)
ただし、\(k\)は定数
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta\)
(4)\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
(5)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\)
ただし、\(\beta\neq0\)
【関数の大小関係】
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
\(a\)の近くで\(f(x)\leqq g(x)\)ならば\(\alpha\leqq\beta\)
【はさみうちの定理】
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
\(a\)の近くで\(f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)\)かつ\(\alpha=\beta\)ならば\(\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=\alpha\)
【例題】次の極限値を求めなさい。
関数の片側極限の求め方
【片側極限】
\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら限りなく\(a\)に近づくことを\(x\to a+0\)と表す。このときの関数\(f(x)\)の極限を右側極限といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)\)と表す。
\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら限りなく\(a\)に近づくことを\(x\to a-0\)と表す。このときの関数\(f(x)\)の極限を左側極限といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)\)と表す。
右側極限と左側極限が存在して一致するとき、極限が存在する。
【例題】次の極限値を求めなさい。