2-2-1 関数の極限(要点)

【関数の極限】

関数\(f(x)\)において、\(x\)が\(a\)以外の値をとりながら\(a\)に限りなく近づくことを、\(x\to a\)のとき関数\(f(x)\)は\(\alpha\)に収束するといい、\(\alpha\)を関数\(f(x)\)の極限値という。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to\alpha\)
で表す。

\(x\to a\)のとき\(f(x)\)が限りなく大きくなる場合、正の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to\infty\)
で表す。

\(x\to a\)のとき\(f(x)\)が限りなく小さくなる場合、負の無限大に発散するという。
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty\)
または
\(x\to a\)のとき\(f(x)\to-\infty\)
で表す。

【関数の極限値の性質】

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
(1)\(\displaystyle \lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha\)
ただし、\(k\)は定数
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta\)
(4)\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
(5)\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\)
ただし、\(\beta\neq0\)

【関数の大小関係】

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
\(a\)の近くで\(f(x)\leqq g(x)\)ならば\(\alpha\leqq\beta\)

【はさみうちの定理】

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき、
\(a\)の近くで\(f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)\)かつ\(\alpha=\beta\)ならば\(\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=\alpha\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to -2}(x^2-3)\)

\(=(-2)^2-3\)
\(=1\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\)

(3)\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{(x+9)-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}\)

(4)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^3+3x^2)\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to-\infty}x^3\left(1+\frac{3}{x}\right)\)
\(\displaystyle =-\infty\)

(5)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4x}{x^2-2}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x}}{1-\frac{2}{x^2}}\)
\(\displaystyle =1\)

(6)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-3}-x)\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2-3)-x^2}{\sqrt{x^2-3}+x)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{-3}{\sqrt{x^2-3}+x}\)
\(\displaystyle =0\)

(7)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+x}+x)\)

\(a=-x\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{a\to\infty}(\sqrt{a^2-a}-a)\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to\infty}\frac{(a^2-a)-a^2}{\sqrt{a^2-a}+a)}\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to\infty}\frac{-a}{\sqrt{a^2-a}+a}\)
\(\displaystyle =\lim_{a\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{a}}+1}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\)

【片側極限】

\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら限りなく\(a\)に近づくことを\(x\to a+0\)と表す。このときの関数\(f(x)\)の極限を右側極限といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)\)と表す。
\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら限りなく\(a\)に近づくことを\(x\to a-0\)と表す。このときの関数\(f(x)\)の極限を左側極限といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)\)と表す。
右側極限と左側極限が存在して一致するとき、極限が存在する。

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{1}{x}\)

\(=\infty\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{x^2-1}{|x-1|}\)

\(x<1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1-0}(-x-1)\)
\(=-2\)

(3)\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{|x^2-4|}{x-2}\)

\(\displaystyle \lim_{x\to2+0}\frac{|x^2-4|}{x-2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to2+0}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
\(=\lim_{x\to2+0}(x+2)\)
\(=4\)

\(\displaystyle \lim_{x\to2-0}\frac{|x^2-4|}{x-2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to2-0}\frac{-(x+2)(x-2)}{x-2}\)
\(=\lim_{x\to2-0}-(x+2)\)
\(=-4\)

\(\displaystyle \lim_{x\to2+0}\frac{|x^2-4|}{x-2}\neq\lim_{x\to2-0}\frac{|x^2-4|}{x-2}\)より、
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{|x^2-4|}{x-2}\)は存在しない。

(4)\(\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{1}{(x+1)^2}\)

\(\displaystyle \lim_{x\to-1+0}\frac{1}{(x+1)^2}=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-1-0}\frac{1}{(x+1)^2}=\infty\)

\(\displaystyle \lim_{x\to-1+0}\frac{1}{(x+1)^2}=\lim_{x\to-1-0}\frac{1}{(x+1)^2}\)より、
\(\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{1}{(x+1)^2}=\infty\)