不定積分
【不定積分】
微分すると\(f(x)\)になる関数\(F(x)\)を原始関数という。
\(f(x)\)の原始関数は\(F(x)+C\)と表すことができる。これを\(\displaystyle \int f(x)dx\)で表し、\(f(x)\)の不定積分という。
\(F'(x)=f(x)\)のとき、
\(\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C\)
ただし、\(C\)は積分定数
\(f(x)\)の不定積分を求めることを積分するという。
【積分の性質】
\(\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
\(\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
\(\displaystyle \int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)
【\(x^r\)の不定積分】
(1)\(r\neq-1\)のとき、\(\displaystyle \int x^rdx=\frac{1}{r+1}x^{r+1}+C\)
(2)\(r=-1\)のとき、\(\displaystyle \int x^{-1}dx=\log|x|+C\)
【三角関数の不定積分】
(1)\(\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C\)
(2)\(\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C\)
(3)\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C\)
【指数関数の不定積分】
(1)\(\displaystyle \int e^xdx=e^x+C\)
(2)\(\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C\)
【例題】次の不定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int\frac{(x-1)^3}{x^3}dx\)
\(\displaystyle =\int\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^3}dx\)
\(\displaystyle =\int(1-3x^{-1}+3x^{-2}-x^{-3})dx\)
\(\displaystyle =x-3\log|x|-\frac{3}{x}+\frac{1}{2x^2}+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
(2)\(\displaystyle \int(\sin x+2\cos x)dx\)
\(\displaystyle =-\cos x+2\sin x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
(3)\(\displaystyle \int\tan^2xdx\)
\(\displaystyle =\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\)
\(\displaystyle =\tan x-x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
(4)\(\displaystyle \int(e^x-3^x)dx\)
\(\displaystyle =e^x-\frac{3^x}{\log3}+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)