【高校数学Ⅲ】5-1-1 不定積分｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「不定積分」について整理しています。積分の基本的な考え方や公式、計算手順をわかりやすく解説します。関数の面積や応用問題に対応できる力を身につけ、大学入試にも役立つ実践的な理解を深めましょう。
不定積分の基本概念と定義
【不定積分】
微分すると\(f(x)\)になる関数\(F(x)\)を原始関数という。
\(f(x)\)の原始関数は\(F(x)+C\)と表すことができる。これを\(\displaystyle \int f(x)dx\)で表し、\(f(x)\)の不定積分という。
\(F'(x)=f(x)\)のとき、
\(\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C\)
ただし、\(C\)は積分定数
\(f(x)\)の不定積分を求めることを積分するという。
【積分の性質】
\(\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
\(\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
\(\displaystyle \int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)
【\(x^r\)の不定積分】
(1)\(r\neq-1\)のとき、\(\displaystyle \int x^rdx=\frac{1}{r+1}x^{r+1}+C\)
(2)\(r=-1\)のとき、\(\displaystyle \int x^{-1}dx=\log|x|+C\)
【三角関数の不定積分】
(1)\(\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C\)
(2)\(\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C\)
(3)\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C\)
【指数関数の不定積分】
(1)\(\displaystyle \int e^xdx=e^x+C\)
(2)\(\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C\)
【例題】次の不定積分を求めなさい。