【高校数学Ⅲ】5-2-4 区分求積法｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「区分求積法」について整理しています。定積分を使った面積近似の手法や、不等式を活用した計算例、入試問題レベルの応用問題まで、例題と解説を通してわかりやすく解説します。区分求積法の理解を深め、定積分の計算力を確実に身につけましょう。
区分求積法の基本概念
【区分求積法】
面積\(\displaystyle S=\int_a^b f(x)dx\)で求める事ができるが、区間\([a,b]\)の横幅を\(n\)等分した各長方形の面積の和を考える。小区間の幅を\(h\)とすると、\(\displaystyle h=\frac{b-a}{n}\)である。小区間\([a_{i-1},a_i]\)の任意の値\(x_i\)に対する値\(f(x_i)\)をとって、\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)h\)と表される。ここで\(n\)を限りなく大きくすると、面積に近づくので、
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)h\)
このように、区間を区分し、和の極限として求める方法を区分求積法という。
【例題】次の極限値を求めなさい。
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\)とおくと、
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle =[\log|1+x|]_0^1\)
\(=\log2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots+(n-n)^2\}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}-1\right)^2\)
\(\displaystyle f(x)=(x-1)^2\)とおくと、
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1 (x-1)^2dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{3}(x-1)^3\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)
不等式を用いた計算例
【定積分と不等式】
(1)\(f(x)\geqq0\)ならば、\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\geqq0\)
等号が成り立つのは、\(f(x)=0\)のとき
(2)\(f(x)\geqq g(x)\)ならば、\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\geqq\int_a^b g(x)dx\)
等号が成り立つのは、\(f(x)=g(x)\)のとき
(3)\(m\leqq f(x)\leqq M\)ならば、\(\displaystyle m(b-a)\leqq\int_a^b f(x)dx\leqq M(b-a)\)
【例題】次のことを証明しなさい。
\(0\leqq x^2\leqq x\)
\(1\leqq 1+x^2\leqq 1+x\)
よって、
\(1+x^2\leqq 1+x\)
\(\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\geqq \frac{1}{1+x}\)
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\geqq \int_0^1\frac{1}{1+x}dx\)
\(x=\tan\theta\)とおくと、
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta・\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\geqq \int_0^1\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}}\geqq [\log|1+x|]_0^1\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\geqq \log2\)
よって、
\(\displaystyle \log2< \frac{\pi}{4}\)