4-1-6 速度と加速度(要点)

【直線上の運動】

直線上を運動する点\(P\)の座標\(x\)は時刻\(t\)の関数なので、\(x=f(t)\)と表す。このとき、\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=f'(t)\)を時刻\(t\)における点\(P\)の速度という。速度を\(v(t)\)とすると、
\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=f'(t)\)

また、このとき、\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\)を時刻\(t\)における点\(P\)の加速度という。加速度を\(a(t)\)とすると、
\(\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\)

速度\(v\)、加速度\(a\)に対し、\(|v|\)を速さ、\(|a|\)を加速度の大きさという。

【例題】数直線上の動点\(P\)の座標\(x\)が時刻\(t\)の関数として\(x=10-4t+t^3\)と表されるとき、点\(P\)の時刻\(t\)における速度\(v\)、加速度\(a\)を求めなさい。

\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-4+3t^2\)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=6t\)

【平面上の運動】

平面上を運動する点\(P\)の座標\(x,y\)は時刻\(t\)の関数なので、\(x=f(t),y=g(t)\)と表す。このとき、速度は\(x\)軸方向\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\)、\(y\)軸方向\(\displaystyle \frac{dy}{dt}\)で表される。これらを成分とする速度を\(\vec{v}\)とすると、
\(\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\)
と表し、時刻\(t\)における点\(P\)の速度ベクトルという。

また、加速度は\(x\)軸方向\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}\)、\(y\)軸方向\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}\)で表される。これらを成分とする加速度を\(\vec{a}\)とすると、
\(\displaystyle \vec{a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)\)
と表し、時刻\(t\)における点\(P\)の加速度ベクトルという。

速さを
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\)
加速度の大きさを
\(\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}\)
で表す。

【例題】座標平面上を運動する点\(P\)の座標が時刻\(t\)の関数として、\(\displaystyle x=\frac{\cos t}{t},y=\frac{\sin t}{t}\)で表される。このとき、\(t=1\)における点\(P\)の速さを求めなさい。

\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{-t\sin t-\cos t}{t^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{t\cos t-\sin t}{t^2}\)
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\frac{t^2\sin^2t+2t\sin t\cos t+\cos^2t}{t^4}+\frac{t^2\cos^2t-2t\cos t\sin t+\sin^2t}{t^4}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{t^2(\sin^2t+\cos^2t)+(\cos^2t+\sin^2t)}{t^4}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{t^2+1}{t^4}}\)
よって、\(t=1\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{2}\)

【等速円運動】

円の中心を原点として半径\(r\)、回転角\(\theta\)の円運動する点\(P\)の座標\((x,y)\)は、
\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)
と表される。また、\(\displaystyle \frac{d\theta}{dt}\)を角速度といい、角速度が一定のとき、点\(P\)の運動を等速円運動という。

【例題】原点\(O\)のまわりを長さ\(r\)の線分\(OP\)が\(1\)秒間に角\(\omega\)の割合で等速円運動をしている。点\(P\)が点\((r,0)\)を出発してから\(t\)秒後の座標を\((x,y)\)とするとき、点\(P\)の時刻\(t\)における速さと加速度の大きさを求めなさい。ただし、\(r>0,\omega>0\)とする。

\(x=r\cos\omega t,y=r\sin\omega t\)とおく。
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=-r\omega\sin\omega t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=r\omega\cos\omega t\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-r\omega^2\cos\omega t\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-r\omega^2\sin\omega t\)
速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-r\omega\sin\omega t)^2+(r\omega\cos\omega t)^2}\)
\(=\sqrt{(r\omega)^2(\sin^2\omega t+\cos^2\omega t)}\)
\(=r\omega\)
加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(|\vec{a}|=\sqrt{(-r\omega^2\cos\omega t)^2+(-r\omega^2\sin\omega t)^2}\)
\(=\sqrt{(r\omega^2)^2(\cos^2\omega t+\sin^2\omega t)}\)
\(=r\omega^2\)