【高校数学Ⅲ】4-1-6 速度と加速度｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「速度と加速度」について整理しています。直線上や平面上の運動、等速円運動を通して、位置・速度・加速度の関係を理解します。ベクトルを用いた運動の表し方や、加速度の向きと大きさの意味をわかりやすく解説します。運動を微分の観点からとらえ、物理的な現象を数学的に考察する力を身につけましょう。
直線上の運動と速度・加速度
【直線上の運動】
直線上を運動する点\(P\)の座標\(x\)は時刻\(t\)の関数なので、\(x=f(t)\)と表す。このとき、\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=f'(t)\)を時刻\(t\)における点\(P\)の速度という。速度を\(v(t)\)とすると、
\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=f'(t)\)
また、このとき、\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\)を時刻\(t\)における点\(P\)の加速度という。加速度を\(a(t)\)とすると、
\(\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f''(t)\)
速度\(v\)、加速度\(a\)に対し、\(|v|\)を速さ、\(|a|\)を加速度の大きさという。
平面上の運動と速度ベクトル
【平面上の運動】
平面上を運動する点\(P\)の座標\(x,y\)は時刻\(t\)の関数なので、\(x=f(t),y=g(t)\)と表す。このとき、速度は\(x\)軸方向\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\)、\(y\)軸方向\(\displaystyle \frac{dy}{dt}\)で表される。これらを成分とする速度を\(\vec{v}\)とすると、
\(\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\)
と表し、時刻\(t\)における点\(P\)の速度ベクトルという。
また、加速度は\(x\)軸方向\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}\)、\(y\)軸方向\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}\)で表される。これらを成分とする加速度を\(\vec{a}\)とすると、
\(\displaystyle \vec{a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)\)
と表し、時刻\(t\)における点\(P\)の加速度ベクトルという。
速さを
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\)
加速度の大きさを
\(\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}\)
で表す。
等速円運動と加速度の関係
【等速円運動】
円の中心を原点として半径\(r\)、回転角\(\theta\)の円運動する点\(P\)の座標\((x,y)\)は、
\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)
と表される。また、\(\displaystyle \frac{d\theta}{dt}\)を角速度といい、角速度が一定のとき、点\(P\)の運動を等速円運動という。