【高校数学Ⅲ】6-1-3 曲線の長さ｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「曲線の長さ」について整理しています。道のりや定積分を用いた曲線の長さの求め方を、例題を通して基礎から応用までわかりやすく解説します。入試問題にも対応できる実践力を養いましょう。
道のりの基本概念
【直線上の道のり】
直線上の運動で速度\(v=f(t)\)とし、時刻\(t_1\)から\(t_2\)までの間に動いた道のり\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_{t_1}^{t_2}|v|dt\)
【平面上の道のり】
平面上の運動で速度\(\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\)とし、時刻\(t_1\)から\(t_2\)までの間に動いた道のり\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_{t_1}^{t_2}|\vec{v}|dt=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)
【例題】次の道のりを答えなさい。
(1)直線上の運動で速度\(v(t)=10-2t\)のとき、\(t=1\)から\(t=3\)までの間に動いた道のり\(s\)
\(\displaystyle s=\int_1^3 (10-2t)dt\)
\(\displaystyle =[10t-t^2]_1^3\)
\(=12\)
(2)平面上の運動で速度\(x=\cos t,y=\sin t\)のとき、点\((x,y)\)が\(t=0\)から\(t=2\)までの間に動いた道のり\(s\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sin t,\frac{dy}{dt}=\cos t\)
\(\displaystyle s=\int_0^2 \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}dt\)
\(\displaystyle =\int_0^2dt\)
\(\displaystyle =[t]_0^2\)
\(=2\)
定積分を用いた曲線の長さの求め方
【媒介変数で表された曲線の長さ】
曲線\(x=f(t),y=g(t)\)の長さ\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)
【関数で表された曲線の長さ】
曲線\(y=f(x)\)の長さ\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\)
【例題】次の曲線の長さ\(s\)を求めなさい。
(1)アステロイド\(\displaystyle x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta\left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-3\sin\theta\cos^2\theta\)
\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=3\sin^2\theta\cos\theta\)
曲線の長さ\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-3\sin\theta\cos^2\theta)^2+(3\sin^2\theta\cos\theta)^2}d\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\sin\theta\cos\theta d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin2\theta d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}(1+1)\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\)
(2)曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})(-1\leqq x\leqq 1)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\)
曲線の長さ\(s\)は
\(\displaystyle s=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\{\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\}^2}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (e^x+e^{-x})dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}[e^x+e^{-x}]_{-1}^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(e-e^{-1}-e^{-1}+e)\)
\(\displaystyle =e-\frac{1}{e}\)
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