1.一般項\(a_n\)が次の式で表される数列の収束、発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle -\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0\)
\(0\)に収束する。
(2)\(\displaystyle \frac{1}{2^n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)
\(0\)に収束する。
(3)\(\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}n(n+1)=\infty\)
正の無限大に発散する。
(4)\(-n\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty\)
負の無限大に発散する。
(5)\(-3^n\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}-3^n=-\infty\)
負の無限大に発散する。
(6)\((-3)^n\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-3)^n\)
振動する。
(7)\(\sin n\pi\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin n\pi=0\)
\(0\)に収束する。
(8)\(\tan \frac{2n-1}{4}\pi\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\tan \frac{2n-1}{4}\pi\)
振動する。
2.次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n-2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4n-1}{n^2+3}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}}\)
\(\displaystyle =0\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-2n}{2n+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n-2}{2+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle =\infty\)
(4)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\)
\(\displaystyle =0\)
(5)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-n}-n)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2-n)-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\)
(6)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\)
\(\displaystyle -1\leqq\cos\frac{n}{6}\pi\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi=0\)
(7)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\)
\(\displaystyle -1\leqq\sin n\pi\leqq1\)より、
\(\displaystyle 0\leqq\sin^2n\pi\leqq1\)
\(\displaystyle 0\leqq\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq\frac{1}{n^2+1}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+1}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}=0\)
(8)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4+7+10+\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots+(3n+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2}(3n+5)}{\frac{n}{2}(3n+7)}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+5}{3n+7}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{7}{n}}\)
\(\displaystyle =1\)