【高校数学Ⅲ】2-1-1 数列の極限｜問題集

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0\)
\(0\)に収束する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)
\(0\)に収束する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}n(n+1)=\infty\)
正の無限大に発散する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty\)
負の無限大に発散する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}-3^n=-\infty\)
負の無限大に発散する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-3)^n\)
振動する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin n\pi=0\)
\(0\)に収束する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\tan \frac{2n-1}{4}\pi\)
振動する。

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}}\)
\(=0\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n-2}{2+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle =\infty\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\)
\(=0\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2-n)-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle -1\leqq\cos\frac{n}{6}\pi\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n}{6}\pi=0\)

\(\displaystyle -1\leqq\sin n\pi\leqq1\)より、
\(\displaystyle 0\leqq\sin^2n\pi\leqq1\)
\(\displaystyle 0\leqq\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq\frac{1}{n^2+1}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+1}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}=0\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2}(3n+5)}{\frac{n}{2}(3n+7)}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+5}{3n+7}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{7}{n}}\)
\(=1\)