2-2-3 連続関数(要点)

【関数の連続性】

関数\(f(x)\)において
(1)\(x=a\)は\(f(x)\)の定義域に属する。
(2)極限値\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\)が存在する。
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)が成り立つ。
場合、関数\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという。

関数\(f(x)\)が定義域の全ての\(x\)の値で連続であるとき、\(f(x)\)を連続関数という。
整関数、分数関数、無理関数、三角関数、指数関数、対数関数はいずれも連続関数である。

【例題】次の関数は\(x=0\)で連続か答えなさい。

(1)\(f(x)=|x|\)

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}|x|=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}|x|=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}|x|=\lim_{x\to-0}|x|\)より、\(f(x)\)は\(x=0\)で連続である。

(2) \begin{eqnarray} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{x}{|x|} (x\neq0) \\ 0 (x=0) \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{x}{|x|}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}\frac{x}{|x|}=-1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to-0}\frac{x}{|x|}\)より、\(f(x)\)は\(x=0\)で不連続である。

【関数の連続性】

関数\(f(x),g(x)\)が共に\(x=a\)で連続ならば、
(1)\(hf(x)+kg(x)\)
ただし、\(h,k\)は定数
(2)\(f(x)g(x)\)
(3)\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\)
ただし、\(g(x)\neq0\)

【区間で連続な関数】

区間\(a\leqq x\leqq b\)を閉区間といい、\([a,b]\)で表す。
区間\(a< x< b\)を開区間といい、\((a,b)\)で表す。
ある区間の全ての\(x\)の値で連続ならば、\(f(x)\)はその区間で連続であるという。

【中間値の定理】

関数\(f(x)\)が区間\([a,b]\)で連続で\(f(a)\neq f(b)\)のとき、
\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の値\(k\)に対して
\(f(c)=k,a< c< b\)
を満たす\(c\)が少なくとも\(1\)つ存在する。

【例題】方程式\(\sqrt{x}-\cos x=0\)は区間\(\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)において、少なくとも\(1\)つの実数解をもつことを説明しなさい。

\(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\)とおくと、\(f(x)\)は区間\(\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\)で連続で
\(f(0)=0-1=-1\)
\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}-0=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)
よって、中間値の定理より\(\displaystyle f(c)=0\)となる\(c\)が\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\)にあるので、少なくとも\(1\)つの実数解をもつ。