【高校数学Ⅲ】2-2-3 連続関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「連続関数」について整理しています。連続関数の定義や連続の判定方法、区間上での性質（中間値の定理や最大・最小値の存在など）をわかりやすく解説します。極限の知識を基に、関数の滑らかさや挙動を理解し、応用問題にも対応できる力を身につけましょう。
連続関数の定義と基本的な考え方
【関数の連続性】
関数\(f(x)\)において
(1)\(x=a\)は\(f(x)\)の定義域に属する。
(2)極限値\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\)が存在する。
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)が成り立つ。
場合、関数\(f(x)\)は\(x=a\)で連続であるという。
関数\(f(x)\)が定義域の全ての\(x\)の値で連続であるとき、\(f(x)\)を連続関数という。
整関数、分数関数、無理関数、三角関数、指数関数、対数関数はいずれも連続関数である。
【例題】次の関数は\(x=0\)で連続か答えなさい。
連続関数の性質と中間値の定理
【関数の連続性】
関数\(f(x),g(x)\)が共に\(x=a\)で連続ならば、
(1)\(hf(x)+kg(x)\)
ただし、\(h,k\)は定数
(2)\(f(x)g(x)\)
(3)\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\)
ただし、\(g(x)\neq0\)
【区間で連続な関数】
区間\(a\leqq x\leqq b\)を閉区間といい、\([a,b]\)で表す。
区間\(a< x< b\)を開区間といい、\((a,b)\)で表す。
ある区間の全ての\(x\)の値で連続ならば、\(f(x)\)はその区間で連続であるという。
【中間値の定理】
関数\(f(x)\)が区間\([a,b]\)で連続で\(f(a)\neq f(b)\)のとき、
\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の値\(k\)に対して
\(f(c)=k,a< c< b\)
を満たす\(c\)が少なくとも\(1\)つ存在する。