【高校数学Ⅲ】3-1-1 微分係数と導関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「微分係数と導関数」について整理しています。微分係数の意味や求め方、導関数の定義と計算方法をわかりやすく解説します。関数の変化率や接線の傾きの理解を深め、微分法の基本をしっかり身につけましょう。
微分係数の意味と接線の傾き
【微分係数と微分可能】
関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f'(a)\)は次のように表される。
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
微分係数\(f'(a)\)が存在するとき、\(f(x)\)は\(x=a\)で微分可能であるという。
【微分可能と連続】
\(f(x)\)が\(x=a\)において微分可能ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で連続である。
【例題】関数\(f(x)=|x-1|\)について、次の問いに答えなさい。
(1)\(x=1\)において連続か答えなさい。
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}(x-1)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}\{-(x-1)\}=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}|x-1|=\lim_{x\to1-0}|x-1|\)より、\(f(x)\)は\(x=1\)で連続である。
(2)\(x=1\)において微分可能か答えなさい。
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{x\to+0}\frac{|h|-0}{h}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{x\to-0}\frac{|h|-0}{h}=-1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\neq\lim_{x\to-0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)より、\(f(x)\)は\(x=1\)で微分可能ではない。
導関数の定義と基本的な求め方
【導関数の定義】
関数\(f(x)\)がある区間で微分可能であるとき、その区間の\(x\)の値\(a\)に微分係数\(f'(a)\)を対応させる関数を\(f(x)\)の導関数といい、\(f'(x)\)で表す。
関数\(f(x)\)からその導関数\(f'(x)\)を求めることを微分するという。
関数\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)は次の式で定義される。
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
【例題】次の関数を導関数の定義に従って微分しなさい。
(1)\(\displaystyle y=\frac{2}{x}\)
\(\displaystyle y'=\lim_{h\to0}\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{2x-2(x+h)}{x(x+h)}}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{-2h}{x(x+h)}}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{-2}{x(x+h)}\)
\(\displaystyle =-\frac{2}{x^2}\)
(2)\(\displaystyle y=\sqrt{2x}\)
\(\displaystyle y'=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{2(x+h)-2x}{h(\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x})}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{2}{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2x}}\)
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