【高校数学Ⅲ】4-1-4 関数のグラフ｜要点まとめ

\(\displaystyle y'=\frac{x^2-2x(x+1)}{(x^2)^2}\)
\(\displaystyle =-\frac{x+2}{x^3}\)
\(\displaystyle y''=\frac{x^3-3x^2(x+2)}{(x^3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+6}{x^4}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(\cdots\)	\(-3\)	\(\cdots\)	\(-2\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(y''\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)		\(+\)
\(y\)	\(⤵\)	\(\displaystyle -\frac{2}{9}\)	\(⤷\)	\(\displaystyle -\frac{1}{4}\)	\(⤴\)		\(⤷\)

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}y=0,\lim_{x\to-\infty}y=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}y=\infty,\lim_{x\to+0}y=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。

\(f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)\)
\(f''(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{2}{3}\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f''(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(y\)	\(⤷\)	\(0\)	\(⤵\)	\(\displaystyle -\frac{16}{27}\)	\(⤷\)	\(-1\)	\(⤴\)

したがって、
\(x=1\)のとき、極小値\(-1\)