凹凸と変曲点
【曲線の凹凸】
(1)区間\((a,b)\)で\(f''(x)>0\)ならば、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で下に凸である。
(2)区間\((a,b)\)で\(f''(x)<0\)ならば、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で上に凸である。
【変曲点】
区間\((a,b)\)で\(f''(x)=0\)ならば、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で変曲点である。
ただし、変曲点の前後で\(f''(x)\)の符号が変わらない場合、変曲点とならない。
【例題】次のグラフを描きなさい。
\(\displaystyle y=\frac{x+1}{x^2}\)
\(\displaystyle y'=\frac{x^2-2x(x+1)}{(x^2)^2}\)
\(\displaystyle =-\frac{x+2}{x^3}\)
\(\displaystyle y''=\frac{x^3-3x^2(x+2)}{(x^3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+6}{x^4}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-3\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(y''\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(⤵\) | \(\displaystyle -\frac{2}{9}\) | \(⤷\) | \(\displaystyle -\frac{1}{4}\) | \(⤴\) | \(⤷\) |
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}y=0,\lim_{x\to-\infty}y=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}y=\infty,\lim_{x\to+0}y=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。