【高校数学Ⅲ】4-1-4 関数のグラフ｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「関数のグラフ」について整理しています。関数の凹凸や変曲点、第2次導関数を用いた極値の求め方を中心に、グラフの形の特徴を正確に読み取る方法をわかりやすく解説します。関数の挙動を理解し、入試問題にも対応できる力を身につけましょう。
関数の凹凸と変曲点の見つけ方
【曲線の凹凸】
(1)区間\((a,b)\)で\(f''(x)>0\)ならば、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で下に凸である。
(2)区間\((a,b)\)で\(f''(x)<0\)ならば、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で上に凸である。
【変曲点】
区間\((a,b)\)で\(f''(a)=0\)かつ\(x=a\)の前後で\(f''(x)\)の符号が変化するとき、\(f(x)\)のグラフは区間\([a,b]\)で変曲点である。
ただし、変曲点の前後で\(f''(x)\)の符号が変わらない場合、変曲点とならない。
【例題】次のグラフを描きなさい。
\(\displaystyle y=\frac{x+1}{x^2}\)
\(\displaystyle y'=\frac{x^2-2x(x+1)}{(x^2)^2}\)
\(\displaystyle =-\frac{x+2}{x^3}\)
\(\displaystyle y''=\frac{x^3-3x^2(x+2)}{(x^3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+6}{x^4}\)
増減表にまとめると、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}y=0,\lim_{x\to-\infty}y=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}y=\infty,\lim_{x\to+0}y=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle =-\frac{x+2}{x^3}\)
\(\displaystyle y''=\frac{x^3-3x^2(x+2)}{(x^3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+6}{x^4}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-3\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(y''\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(⤵\) | \(\displaystyle -\frac{2}{9}\) | \(⤷\) | \(\displaystyle -\frac{1}{4}\) | \(⤴\) | \(⤷\) |
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}y=\infty,\lim_{x\to+0}y=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。
第2次導関数を使った極値の判定
【第2次導関数と極値】
(1)\(f'(a)=0,f''(a)<0\)ならば、\(f(a)\)は極大値である。
(2)\(f'(a)=0,f''(a)>0\)ならば、\(f(a)\)は極小値である。
【例題】次の関数の極値を求めなさい。
\(f(x)=3x^4-4x^3\)
\(f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)\)
\(f''(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=1\)のとき、極小値\(-1\)
\(f''(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(y\) | \(⤷\) | \(0\) | \(⤵\) | \(\displaystyle -\frac{16}{27}\) | \(⤷\) | \(-1\) | \(⤴\) |
\(x=1\)のとき、極小値\(-1\)
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