1.次の関数の第\(2\)次導関数、第\(3\)次導関数を求めなさい。
(1)\(y=ax^3\)
\(y'=3ax^2\)
\(y''=6ax\)
\(y'''=6a\)
(2)\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle y'=-\frac{1}{x^2}\)
\(\displaystyle y''=\frac{2}{x^3}\)
\(\displaystyle y'''=-\frac{6}{x^4}\)
(3)\(y=\cos x\)
\(y'=-\sin x\)
\(y''=-\cos x\)
\(y'''=\sin x\)
(4)\(y=e^x\)
\(y'=e^x\)
\(y''=e^x\)
\(y'''=e^x\)
(5)\(y=e^{-2x}\)
\(y'=-2e^{-2x}\)
\(y''=4e^{-2x}\)
\(y'''=-8e^{-2x}\)
(6)\(y=x^2\log x\)
\(\displaystyle y'=2x\log x+x^2・\frac{1}{x}=2x\log x+x\)
\(\displaystyle y''=2\log x+2x・\frac{1}{x}+1=2\log x+3\)
\(\displaystyle y'''=\frac{2}{x}\)
(7)\(y=\sin x^2\)
\(y'=2x\cos x^2\)
\(y''=2\cos x^2-4x^2\sin x^2\)
\(y'''=-4x\sin x^2-8x^2\sin x^2-8x^3\cos x^2\)
\(=-12x\sin x^2-8x^3\cos x^2\)
2.次の関数の第\(n\)次導関数を求めなさい。
(1)\(y=x^n\)
\(y'=nx^{n-1}\)
\(y''=n(n-1)x^{n-2}\)
\(y'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\)
\(y^{(n)}=n!\)
(2)\(y=e^{2x}\)
\(y'=2e^{2x}\)
\(y''=2^2e^{2x}\)
\(y'''=2^3e^{2x}\)
\(y^{(n)}=2^ne^{2x}\)
(3)\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)
\(y'=-x^{-2}\)
\(y''=2x^{-3}\)
\(y'''=-6x^{-4}\)
\(y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}\)