【高校数学Ⅲ】5-2-1 定積分｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「定積分」について整理しています。定積分の定義や計算の基本、面積との関係、性質などをわかりやすく解説します。積分の基礎をしっかり理解し、応用問題や入試問題にも対応できる力を身につけましょう。
定積分の定義と考え方
【定積分】
\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(x\)に任意の数を入れて、その差を求める。
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)
これを関数\(f(x)\)の\(a\)から\(b\)までの定積分という。
また、\(a\)を下端、\(b\)を上端という。
【定積分の性質】
(1)\(\displaystyle \int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx\)
(2)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\)
(3)\(\displaystyle \int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx\)
(4)\(\displaystyle \int_a^a f(x)dx=0\)
(5)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\)
(6)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_1^3 x^2dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^3\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}・3^3-\frac{1}{3}・1^3\)
\(\displaystyle =\frac{26}{3}\)
(2)\(\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}dx\)
\(=[\log|x|]_1^2\)
\(=\log2-\log1\)
\(=\log2\)
(3)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx\)
\(=\left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=1-0\)
\(=1\)
(4)\(\displaystyle \int_0^2 e^xdx\)
\(=[e^x]_0^2\)
\(=e^2-e^0\)
\(=e^2-1\)
(5)\(\displaystyle \int_3^7 \frac{1}{x^2-4}dx\)
\(\displaystyle =\int_3^7 \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}[\log|x-2|]_3^7-\frac{1}{4}[\log|x+2|]_3^7\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}(\log5-\log1-\log9+\log5)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}(2\log5-2\log3)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\log\frac{5}{3}\)
(6)\(\displaystyle \int_0^\pi \sin^2xdx\)
\(\displaystyle =\int_0^\pi \frac{1-\cos2x}{2}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}[x]_0^\pi-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin2x\right]_0^\pi\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(\pi-0-0+0)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}\)
(7)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos4x\cos3xdx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos7x+\cos x)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{7}\sin7x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}[\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{14}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-0+\frac{7}{\sqrt{2}}-0\right)\)
\(\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{14}\)
(8)\(\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x|dx\)
\(\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin x)dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx\)
\(\displaystyle =[\cos x]_{-\frac{\pi}{4}}^{0}+[-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =1-\frac{1}{\sqrt{2}}+(0+1)\)
\(\displaystyle =\frac{4-\sqrt{2}}{2}\)
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