【高校数学Ⅲ】5-2-2 置換積分法と部分積分法｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「定積分の置換積分法と部分積分法」について整理しています。置換積分法の手順や偶関数・奇関数を用いた計算方法、部分積分法の公式とその応用をわかりやすく解説します。定積分の計算力を身につけ、入試問題にも対応できる実践的な力を養いましょう。
定積分の置換積分法と計算手順
【定積分の置換積分法】
\(x=g(t),a=g(\alpha),b=g(\beta)\)とおくとき、
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{(x-2)^3}dx\)
\(x-2=t\)とおくと、\(dx=dt\)なので、
\(\displaystyle =\int_{-2}^{-1}\frac{t+2}{t^3}dt\)
\(\displaystyle =\int_{-2}^{-1}(t^{-2}+2t^{-3})dt\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right]_{-2}^{-1}\)
\(\displaystyle =(1-1)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{4}\)
(2)\(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x}dx\)
\(\sin x=t\)とおくと、\(\cos xdx=dt\)なので、
\(\displaystyle =\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{1}{t}dt\)
\(\displaystyle =[\log|t|]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\)
\(\displaystyle =0-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\log2\)
(3)\(\displaystyle \int_0^{2} \sqrt{4-x^2}dx\)
\(x=2\sin\theta\)とおくと、\(dx=2\cos\theta d\theta\)なので、
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{1-\sin^2\theta}・2\cos\theta d\theta\)
\(\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta\)
\(\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta\)
\(\displaystyle =2\left[\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =2\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-2(0+0)\)
\(=\pi\)
(4)\(\displaystyle \int_0^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx\)
\(x=3\sin\theta\)とおくと、\(dx=3\cos\theta d\theta\)なので、
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3\sqrt{1-\sin^2\theta}}・3\cos\theta d\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{6}} d\theta\)
\(\displaystyle =[\theta]_0^{\frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{6}\)
(5)\(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx\)
\(x=\tan\theta\)とおくと、\(dx=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\)なので、
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta・\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta\)
\(\displaystyle =[\theta]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\)
偶関数・奇関数を用いた定積分の応用
【偶関数と奇関数】
\(f(x)=x^2,f(x)=\sqrt{a^2-x^2}\)のように、
\(f(-x)=f(x)\)
が成り立つ関数を偶関数という。偶関数のグラフは\(y\)軸について対称である。
\(f(x)=x^3,f(x)=\sin x\)のように、
\(f(-x)=-f(x)\)
が成り立つ関数を奇関数という。奇関数のグラフは原点について対称である。
【偶関数と奇関数の定積分】
\(f(x)\)が偶関数のとき、
\(\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)
\(f(x)\)が奇関数のとき、
\(\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx=0\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x^2\sin xdx\)
\(f(x)=x^2\sin x\)とおくと、
\(f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=-x^2\sin x=-f(x)\)
奇関数であるので、
\(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x^2\sin xdx=0\)
(2)\(\displaystyle \int_{-2}^2 x(x-1)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-2}^2 (x^3-2x^2+x)dx\)
\(x^3,x\)は奇関数、\(x^2\)は偶関数なので、
\(\displaystyle =0-4\int_0^2 x^2dx+0\)
\(\displaystyle =-4\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2\)
\(\displaystyle =-\frac{32}{3}\)
定積分の部分積分法と公式活用
【定積分の部分積分法】
\(\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)dx\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos xdx\)
\(\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(\sin x)'dx\)
\(\displaystyle =[x\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x)'\sin xdx\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}-0-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}-0-[-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}-1\)
(2)\(\displaystyle \int_1^2 x\log xdx\)
\(\displaystyle =\int_1^2 \left(\frac{1}{2}x^2\right)'\log xdx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{2}x^2\log x\right]_1^2-\int_1^2 \frac{1}{2}x^2(\log x)'dx\)
\(\displaystyle =2\log2-0-\int_1^2 \frac{1}{2}xdx\)
\(\displaystyle =2\log2-\left[\frac{1}{4}x^2\right]_1^2\)
\(\displaystyle =2\log2-\left(1-\frac{1}{4}\right)\)
\(\displaystyle =2\log2-\frac{3}{4}\)
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