【高校数学Ⅲ】4-1-7 近似式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「近似式」について整理しています。関数を多項式で近似する考え方や、テイラー展開・マクローリン展開の基本をわかりやすく解説します。近似の精度や誤差の扱いを理解し、関数の挙動をより正確に捉える力を身につけましょう。
関数の近似と近似式の考え方
【\(1\)次の近似式】
\(h\to0\)のとき、\(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\)
【例題】\(x\approx0\)のとき、次の式の近似式を求めなさい。
(1)\(\sqrt{1+x}\)
\(f(x)=\sqrt{1+x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\)
\(\displaystyle f(0)=1,f'(0)=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \sqrt{1+x}\approx1+\frac{1}{2}x\)
\(\displaystyle f(0)=1,f'(0)=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \sqrt{1+x}\approx1+\frac{1}{2}x\)
(2)\(\sin x\)
\(f(x)=\sin x\)とおくと、
\(f'(x)=\cos x\)
\(f(0)=0,f'(0)=1\)
よって、
\(\sin x\approx x\)
\(f(0)=0,f'(0)=1\)
よって、
\(\sin x\approx x\)
【例題】次の式の近似値を求めなさい。
(1)\(\sqrt{1.01}\)
\(x\approx0\)のとき、\(\displaystyle \sqrt{1+x}\approx1+\frac{1}{2}x\)
よって、
\(\displaystyle \sqrt{1+0.01}\approx1+\frac{1}{2}・0.01=1.005\)
よって、
\(\displaystyle \sqrt{1+0.01}\approx1+\frac{1}{2}・0.01=1.005\)
(2)\(\sin1^{\circ}\)
\(x\approx0\)のとき、\(\sin x\approx x\)
よって、
\(\displaystyle \sin\frac{\pi}{180}\approx\frac{\pi}{180}\)
よって、
\(\displaystyle \sin\frac{\pi}{180}\approx\frac{\pi}{180}\)
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