【高校数学Ⅲ】3-1-5 対数関数と指数関数の導関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「対数関数と指数関数の導関数」について整理しています。\(\log x\)や\(e^x\)、\(a^x\)の導関数の導出方法や微分公式、合成関数への応用などをわかりやすく解説します。指数・対数関数の性質を理解することで、微分計算の幅を広げ、入試レベルの問題にも対応できる力を身につけましょう。
対数関数の導関数
【自然対数の底】
\(\displaystyle \lim_{n\to0}(1+n)^{\frac{1}{n}}\)の極限値を\(e\)とする。
\(e=2.7182818\cdots\)であり、無理数であることが知られている。
\(e\)を底とする対数\(\log_{e}x\)を\(x\)の自然対数という。自然対数は底の\(e\)を省略して\(\log x\)と書く。
【対数関数の導関数】
(1)\(\displaystyle (\log x)'=\frac{1}{x}\)
(2)\(\displaystyle (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\log a}\)
(3)\(\displaystyle \{\log|f(x)|\}'=\frac{f'(x)}{f(x)}\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
(1)\(y=(\log x)^2\)
\(y'=2\log x・(\log x)'\)
\(\displaystyle =\frac{2\log x}{x}\)
\(\displaystyle =\frac{2\log x}{x}\)
(2)\(y=\log_{2}(3x+2)\)
\(\displaystyle y'=\frac{(3x+2)'}{(3x+2)\log2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{(3x+2)\log2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{(3x+2)\log2}\)
(3)\(y=\log|x^2-3|\)
\(\displaystyle y'=\frac{(x^2-3)'}{x^2-3}\)
\(\displaystyle =\frac{2x}{x^2-3}\)
\(\displaystyle =\frac{2x}{x^2-3}\)
(4)\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{2x-1}}{x-1}\)
両辺の絶対値の自然数をとると、
\(\displaystyle \log|y|=\log\left|\frac{\sqrt{2x-1}}{x-1}\right|\)
\(\displaystyle \log|y|=\frac{1}{2}\log|2x-1|-\log|x-1|\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{1}{2}・\frac{(2x-1)'}{2x-1}-\frac{(x-1)'}{x-1}\)
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{x-1}\)
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{x}{(2x-1)(x-1)}\)
よって、
\(\displaystyle y'=-\frac{x}{(2x-1)(x-1)}・\frac{\sqrt{2x-1}}{x-1}\)
\(\displaystyle =-\frac{x}{(x-1)^2\sqrt{2x-1}}\)
\(\displaystyle \log|y|=\log\left|\frac{\sqrt{2x-1}}{x-1}\right|\)
\(\displaystyle \log|y|=\frac{1}{2}\log|2x-1|-\log|x-1|\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{1}{2}・\frac{(2x-1)'}{2x-1}-\frac{(x-1)'}{x-1}\)
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{x-1}\)
\(\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{x}{(2x-1)(x-1)}\)
よって、
\(\displaystyle y'=-\frac{x}{(2x-1)(x-1)}・\frac{\sqrt{2x-1}}{x-1}\)
\(\displaystyle =-\frac{x}{(x-1)^2\sqrt{2x-1}}\)
指数関数の導関数
【指数関数の導関数】
(1)\((e^x)'=e^x\)
(2)\((a^x)'=a^x\log a\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
(1)\(y=x^2e^{2x}\)
\(y'=(x^2)'e^{2x}+x^2(e^{2x})'\)
\(=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\)
\(=2x(1+x)e^{2x}\)
\(=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}\)
\(=2x(1+x)e^{2x}\)
(2)\(y=2^{-x^2}\)
\(y'=2^{-x^2}・\log2・(-x^2)'\)
\(=-2x・2^{-x^2}\log2\)
\(=-2^{1-x^2}x\log2\)
\(=-2x・2^{-x^2}\log2\)
\(=-2^{1-x^2}x\log2\)
次の学習に進もう！