【高校数学Ⅲ】3-1-3 合成関数と逆関数の微分法｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「合成関数と逆関数の微分法」の要点を解説します。連鎖律（合成関数の微分公式）や逆関数の導関数の求め方を、具体例と計算手順を通してわかりやすく学べます。微分計算の応用力を高めたい人に最適です。
合成関数の微分（連鎖律）と計算例
【合成関数の微分法】
\(y=f(u),u=g(x)\)がそれぞれ\(u\)の関数\(x\)の関数として微分可能なとき、合成関数\(y=f(g(x))\)について
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
\(y=(x^2+2)^3\)
\(y'=3(x^2+2)^{3-1}・(x^2+2)'\)
\(=3(x^2+2)^2・2x\)
\(=6x(x^2+2)^2\)
\(=3(x^2+2)^2・2x\)
\(=6x(x^2+2)^2\)
逆関数の導関数の求め方と応用例
【逆関数の微分法】
微分可能な関数\(g(y)\)の逆関数\(f(x)\)の導関数は
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
\(y=\sqrt[3]{3x}\)
\(y=\sqrt[3]{3x}\)より、\(\displaystyle x=\frac{1}{3}y^3\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{\frac{1}{3}(y^3)'}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{y^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}\)
\(\displaystyle y'=\frac{1}{\frac{1}{3}(y^3)'}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{y^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}\)
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